Förslag på examensarbeten inom tillämpad matematik

Kort beskrivning av ovanstående examensarbeten

• Stream solutions of a water wave problem
  This project concerns steady water waves in a channel of a finite depth. General vortical flows will be considered. The project mostly deals with waves which do not depend on the vertical variable (stream solutions). The goal is to consider some particular forms of vorticity and describe all such stream solutions. This problem can be reduced to a nonlinear ordinary differential equation of second order with Dirichlet boundary condition complemented by the Bernoulli equation but the unknowns here are the function and the length of the interval.
• Studier av klimathot och smittspridning med hjälp av differentialekvationer och fourierserier
  Kontaktpersoner: Kozlov, Wennergren och Turesson
  Projektet ingår i ett stärre tvärvetenskapligt arbete som ä ett samarbete mellan Tillämpad matematik, MAI och Teoretisk Biologi, IFM. Du skall avgöra under vilka föutsättningar förädringar i biologiska system kan beskrivas med relativt enkla matematiska ekvationer. Om detta är fallet så kan man lättare f&ou8ml;utsäga ekologiska förändringar och katastrofer. Exempel är bättre kunskap om spridning av sjukdomar som mul- och klövsjuka och HIV, kontroll av skadegörare i jordbruket och inte minst bättre kunskap om effekter av klimatförändring. I projektet kommer du att använda kända matematiska modeller för spridning (Fokker Planck diffusionsekvation) och populationstillväxt (McKendrick-von Foerster balansekvation). När du kombinerar dessa kan du beskriva flertalet biologiska processer. I projektet kommer du även hantera den komplexa struktur som finns i landskap. Landskapets struktur kommer beskrivas med fourierserier i två till tre dimensioner. T ex kan en förändring av denna landskapsstruktur beskriva hur klimatförändringen ändrar förutsättningarna, resurserna, för arters existens i ett område.
  Projektet kan utvecklas till ett större doktorandprojekt med start HT 2011.
• Mathematical modelling of blood flow in patients
  Magnetic Resonance Imaging (MRI) scans are used for studying the flow of blood in individual blood vessels. The scan provides detailed information about the velocity profile of the blood at the specific locations where measurements are collected. The aim is to detect defects in a patients blood vessels that hinder the flow of blood and may warrant medical treatment.

  In this project we study a 2D model of a blood vessel; in particular we are interessed in the velocity field v(x,y). A defect in a blod vessel will disturb the velocity profile of the flow. Hence two measured velocity profiles v(0,y) and v(L,y) can be used to determine if a blood vessel is healthy or not.

  Furthermore, the disturbance of the flow is only local, and eventually the velocity profile should return to normal. Hence the difference between the measured velocity profile v(L,y) and a normal velocity profile (e.g. v(0,y)), together with some additional information, can be used to estimate the precise location of the defect causing the disturbance.

  In this project we aim to solve the 2D flow equations to simulate the flow of blood in a blood vessel. Also we aim to study the effect on the velocity field of different types of defects in blood vessels. The goal is to use the mathematical model to determine what type of measured information that is needed to determine the exact location of a defect in a blood vessel, and also place the defect more accurately than would othervise be possible using the raw data obtained by the MRI scan. Contacts. Fredrik Berntsson (fredrik.berntsson@liu.se) and Vladimir Kozlov (vlkoz@mai.liu.se). This is a joint project with Matts Karlssson (matts.karlsson@liu.se) at IMT.
• Diverse ämnen inom integrabla system, framför allt relaterade till Camassa-Holm-ekvationen och Degasperis-Procesi-ekvationen
  "Integrabla system" är (lite oprecist uttryck) differentialekvationer med mycket speciella egenskaper som gör att man kan beräkna lösningen exakt med analytiska metoder. Ett sådant system som studerats enormt mycket på senare år är Camassa-Holm-ekvationen, en partiell differentialekvation som härleddes 1993 för att beskriva vågor i grunt vatten. Den har en speciellt typ av lösningar som kallas "multipeakons". Dessa består av en superposition av ändligt många spetsiga vågtoppar, och PDE:n reduceras i detta fall till ett system av ordinära differentialekvationer som bestämmer positionerna och amplituderna för dessa toppar. Detta ODE-system kan lösas helt explicit med hjälp av klassiska matematiska verktyg som kedjebråk och ortogonala polynom. Degasperis-Procesi-ekvationen är en annan integrabel PDE (upptäckt 1998) som också har peakonlösningar, men för att beräkna dessa måste man ta till lite mer exotisk matematik.

  Här finns många intressanta ämnen att fördjupa sig i. Man kan antingen studera dem för att de är intressanta i sig, eller för att försöka förstå hur de hänger samman med peakonlösningarna till vattenvågsekvationerna. (Allt beroende på tid och intresse förstås.)

  Några exempel:

  1. Matematik relaterad till CH-ekvationen: ortogonala polynom, det klassiska momentproblemet (av stort historiskt intresse för funktionalanalysens framväxt), Padéapproximation, kedjebråk av Stieltjestyp, invers spektralteori för den vibrerande strängen (speciellt i det "diskreta fallet" då massan är koncentrerad till ett ändligt antal punkter), andra integrabla system lösbara på liknande sätt.
  2. Matematik relaterad till DP-ekvationen: biortogonala polynom, samtidig approximation av flera rationella funktioner, direkt och invers spektralteori för den "kubiska strängen", totalt positiva matriser, oscillatoriska matriser.
  3. Existens och entydighet (eller frånvaro därav) för starka och svaga lösningar till CH och DP. (Peakonlösningarna måste tolkas i svag mening, eftersom de inte är deriverbara i de punkter där vågtopparna är spetsiga.)
  4. För den som gillar numerisk analys finns det också utmaningar; dels att lösa CH och DP numeriskt direkt, dels att finna robusta numeriska implementationer för att beräkna lösningen till de ovan nämnda inversa spektralproblemen (de analytiska formlerna som man känner till är inte nödvändigtvis det bästa sättet ur numerisk synvinkel).
• Interconnections between local and global properties of graphs
  Recent years have witnessed a creation of very large networks with millions or even billions of vertices. Under these conditions most known algorithms are ruinously inefficient. The aim of this work is to study how local properties of a graph (network) can be used for recognizing its global properties and designing efficient algorithms.
   
  Det går bra att göra detta examensarbete för 16 hp eller 30 hp.
   
  
• Ett inverst egenvärdesproblem av Sturm-Liouville-typ.
  Vi betraktar ett s.k. Sturm-Liouville-problem
   
  y''(x)+(lambda-q(x))y(x)=0  ,   0<x<pi  ,   y(0)=y(pi)=0
   
  där man med kännedom om funktionen q(x) kan bestämma egenvärdena lambda_i , i=1,2,... , d.v.s. de lambda-värden för vilka man har icke-triviala lösningar y(x). Detta är det s.k. direkta egenvärdesproblemet. För ett inverst egenvärdesproblem vill man istället utgående från kännedom om egenvärden lambda_i , i=1,2,...  bestämma funktionen q(x), eller i alla fall utvinna så mycket information som möjligt om denna.
   
  Vi antar nu att t.ex. de n stycken första egenvärdena lambda_i , i=1,2,...,n är kända och ställer problemet att bestämma potentialen q. Eftersom denna inte kommer att vara entydigt bestämd av ändligt många egenvärden, så försöker vi att bestämma q under det ytterligare bivillkoret att L²-normen av q, d.v.s. integralen av q^2 på ]0,pi[, skall vara minimal.
   
  För att lösa problemet och få en algoritm för att beräkna q(x) kan man återföra det till ett problem om system av olinjära differentialekvationer kombinerade med system av olinjära ekvationer involverande parametrarna lambda_i , i=1,2,...,n.
   
  
• Kvasistatiska kontaktproblem med friktion och ändligt många frihetsgrader.
  Vi betraktar ett elastiskt system med ändligt många rumsliga frihetsgrader bestående av s k förskjutningsnoder som är elastiskt kopplade så att deras förskjutningar beror linjärt av det pålagda kraftfältet.
   
  En del av noderna, kontaktnoderna, kan komma i kontakt med varsitt plant hinder som inte kan genomträngas. Vi antar vidare att kontakten med hindren sker under Coulombs friktionslag så att den tangentiella friktionskraften är motriktad glidningen och proportionell mot normalkraften, med en proportionalitetskonstant som kallas friktionskoefficienten. Ett tidsberoende yttre kraftfält tänkes vara anbringat så långsamt att tröghetskrafter kan försummas, dvs vi har ett kvasistatiskt problem.
   
  Vårt problem består nu i att bestämma hur tillståndet utvecklas, d.v.s hur förskjutningsvektorer och reaktionskrafter beror av tiden, och kan omformuleras som ett s k komplementaritetsproblem för okända tidsderivator.
   
  Om tidsderivatorna approximeras med bakåtdifferenser fås en sekvens av s~k inkrementella komplementaritetsproblem vilka kan lösas med hjälp av optimeringsmetoder.
   
  I analysen och beräkningarna behöver användas bl.a. linjär algebra, optimering under bivillkor, lösning av olinjära ekvationssystem med t.ex. Newtons metod och finita element.
   
  
• On a notion of line (topological).
  
  • Historical remarks on the problem of defining a line; Peano-type functions.
  • Definition of a line in the plane.
  • Examples of plane lines (Sierpinski Carpet and so on ).
  • General definition of a line.
  • Extra: lines that do not contain any interval (pseudoarc).
  
  
• Hävbarhetsmängder för Hardyrum
  Rummet H^p(G), 0 < p < oo (av typograiska skäl betecknar vi oändligheten med oo), definieras som mängden av de analytiska funktioner f på området G för vilka det finns en harmonisk funktion h på området G så att |f(z)|^p < h(z) för alla z i G.
  En relativt sluten delmängd E till G är hävbar för H^p(G-E) om H^p(G)=H^p(G-E) (d.v.s. varje funktion i H^p(G-E) är restriktionen av en funktion i H^p(G)).
  En hävbarhetsmängd A är en delmängd till positiva reella halvaxeln sådan att det finns ett område G med en relativt sluten delmängd E så att A={p:E är hävbar för H^p(G-E)}.
  Om man begränsar sig till kompakta mängder E så vet man sedan ett resultat av Morisuke Hasumi (1978) att hävbarhetsmängderna är av typen (p,oo), 0 <= p < oo, [p,oo), 0 < p < oo, och tomma mängden (och att alla dessa mängder är möjliga).
  Våren 2000 insåg jag att det i det allmänna fallet var möjligt att få fler mängder än i kompakta fallet. (Det var säkert ingen som hade funderat i dessa banor tidigare.)
  Detta examensarbete går ut på att undersöka vilka mängder som är hävbarhetsmängder för Hardyrum. Bl.a. ingår det att sätta sig in i de kända resultat som kan vara användbara för att konstruera G och E som ger olika hävbarhetsmängder.
  Förkunskaper: Komplex analys och viss matematisk mognad; gärna funktionalanalys.

  Det går bra att göra detta examensarbete för 16 hp eller 30 hp.
   
  

• Dominerande mängder för harmoniska och p-harmoniska funktioner
  Låt G vara en öppen mängd i komplexa talplanet och E vara en delmängd till G. Då är E dominerande för harmoniska funktioner i G om supE f = supG f för alla harmoniska funktioner f i G.
  Att vara dominerande för harmoniska funktioner kan karakteriseras på många ekvivalenta sätt vilket beskrevs i en artikel av Nicola Arcozzi och Anders Björn (2002). Bland annat kan detta beskrivas topologiskt (geometriskt). Det är också ekvivalent att vara dominerande för analytiska funktioner.
  Harmoniska funktioner kan studeras i många olika sammanhang och målsättning här är att studera motsvarande karakteriseringar under olika förutsättningar, bl.a. för harmoniska funktioner på metriska rum, och för p-harmoniska funktioner. p-harmoniska funktioner är ickelinjära generaliseringar av harmoniska funktioner.
  
  Förkunskaper: Komplex analys och funktionalanalys.
   
  
• Talteori
  Låt för ett heltal x, A(x) vara det heltal som fås genom att flytta x:s sista siffra först, t.ex. blir A(1024)=4102. Studera ekvationen A(x)=2x.

  Jimmie Enhäll skrev 2004-05 ett examensarbete (16 hp, C-nivå) i vilket han löste detta problem och också generaliseringar av det. Han tittade på ekvationer av typen A(x)=mx., där m är ett heltal, och generaliserade också problemet till andra baser än 10.

  Hans lösningar ger en indikation på att det kan finnas ett samband mellan lösningar av ekvationerna ovan och vissa periodiska decimalbråk. Detta examensarbete går bl.a. ut på att studera detta samband och därigenom bidra till bättre förståelse av problemet.

  Det går också ut på att studera motsvarande ekvation där m inte är ett heltal (men förstås rationellt).

  Förkunskaper: Viss matematisk mognad, moduloaritmetik (d.v.s. kongruensräkning).

  Det går bra att göra detta examensarbete för 16 hp, lämpligen på C-nivå.
   
  

• We offer several M.Sc. thesis (examensarbeten) connected with image processing (namely, image de-nooising and de-blurring) and mathematical analysis (Fourier analysis and functional analysis). All the projects are connected to the course MAI0099 "Regularization theory" for Master and PhD students which will be given in January-March 2011 (see http://www.mai.liu.se/~nakru/kurser/MAI0099/).
   
  
• Utvärdering av fritt tillgängliga kvantdatorsimulatorer och -programmeringsspråk.
  Det finns idag några färdiga fritt tillgängliga verktyg för simulering och programmering av en tänkt kvantdator. Arbetet är tänkt att jämföra dessa verktyg och lista fördelar och nackdelar med dem, och kanske också att föreslå förbättringar.
   
  
• Kvantmekanikens fundamenta: Kochen-Specker-paradoxen.
  I kvantmekanikens fundamenta är en stor fråga vilka typer av matematiska modeller som kan användas för att beskriva naturen. Kochen-Specker-paradoxen används för att visa att s k icke-kontextuella realistiska modeller inte fungerar för att beskriva kvantmekaniska system. Detta examensarbete ska titta närmare på beviset för detta och ta fram en struktur i de bevis som finns, en struktur som verkar vara outforskad ännu så länge.
   
  
• Separation coordinates for integrable Newton equations of analytical mechanics.
  The fundamental problem in analytical mechanics is to solve Newton equations of motion which are a mathematical formulation of the second principle of mechanics. The generic Newton equations are not analytically integrable and their trajectories may display chaotic behaviour. Solvable models are, however, of great interest because they are often the starting point for perturbation techniques.
  This examination work is about integrable quasipotential Newton equations of the form. They are characterised by a system of second order linear partial differential equation with polynomial coefficients called Fundamental Equations and are solvable through separation of variables in new types of coordinates. The aim of this work is to study these new types of separation coordinates that appear in theory of quasipotential Newton equations.
   
  
• The concept of arbitrage and arbitrage theorems in financial mathematics.
  The arbitrage theorems stem from theorems of alternative in linear algebra. They help to identify arbitrage situations and to design investment strategies providing riskless profits. The aim of this examination work is to study mathematical formulation and abstract content of these theorems as well as some concrete examples of how they can be used. Certain level of mathematical maturity (at undergraduate level) is required.
   
  
• Various topics in mathematical general relativity
  The fundamental equations of general relativity are Einstein's field equations. They form a system of non-linear partial differential equations. Because of the non-linearity they are mathematically complicated, no general method of solving them is known. Within the relativity group at the mathematics department various problems are studied and it is possible to do an examination work related to some of these projects. Some topics that may be studied are
  • Properties of black hole spacetimes
  • Initial value problems
  • Potentials
  • Superenergy tensors
  • Spinors in relativity
  • Symmetries of spacetimes
  The background expected from the student is to have a good undergraduate education in mathematics and some knowledge of general relativity (for example the course TFYY57 Relativitetsteori).
   
  
• Reidemeister-Schreier's algorithm
  This is an examination work in combinatorial group theory with applications to geometry, topology and graph-theory.
  The Reidemeister- Schreier algorithm gives us the presentation of a subgroup H of a group G. It is also used to find the presentation of an extension G of a given group H by a factor group F.
  The work consists of implementing a computer-algorithm for the Reidemeister-Schreier method using symbolic calculus applications such as CAYLEY, GAP or MAGMA, as well as to calculate presentations for groups of manifolds and orbifolds in dimension 2 and 3. Some techniques in topology will be studied as part of the project.
  Knowledge of abstract algebra with enumeration techniques is required.
   
  
• Olika problem inom teorin av Sobolevrum och teorin av multiplikatorer i rum av differentierbara funktioner. Ett problem: sammansatta funktioner av multiplikatorer.
  Med en multiplikator som opererar från ett funktionsrum S₁ till ett annat rum S₂ menas en funktion m sådan att mu tillhör S₂ för varje u från S₁. Man skriver då att m tillhör M(S₁->S₂).
  1964 visade A.Beurling att f(m) är multiplikator i rummet W₂^l om m också är dylik, och f är Hölderkontinuerlig. Med W₂^l menas här rummet av funktioner i Rⁿ, vars derivator av fraktionell ordning 0<l<1 har summabla kvadrater. Tjugo år senare visade V.Maz'ya och jag, att om m tillhör M(W_p^m-> W_p^l), 0<l<1, m>=l, så tillhör f(m) samma klass av multiplikatorer som m ifall f är Hölderkontinuerlig. Här betecknar dett nedre index p i rummet W_p^l på summationsgraden.
  X-jobb: generalisera detta påstående till andra rum av differentierbara funktioner (t.ex. till rum av Besselpotentialer) och visa att det är exakt, dvs villkoret på f kan inte göras mildare.
  Inga förkunskaper krävs utöver vilja att läsa motsvarande avsnitt i boken "Theory of Multipliers in Spaces of Differentiable functions" (Pitman, 1985) av V.Maz'ya och T.Shaposhnikova.