Avslutade examensarbeten/magisteruppsatser vid MAI

Denna studie behandlar arbetet av laborativ matematik för grundskolans senare år. Enligt läroplanen och kursplanen är undervisningens syfte att utveckla elevers kunskaper om matematikens användning både i vardagliga situationer och inom andra ämnesområden. Undervisningen ska även bidra till att elever kan reflektera över matematikens användning i vardagslivet. Många elever är idag omotiverade, uttråkade och har tappat lusten för att lära, vilket kan bero på att lärobokstyrd undervisning domineras i grundskolans senare år. Studien är ett konsumtionsinriktat arbete med litteraturstudie som metod. Databaserna som användes var Academic Search Primer och ERIC. Resultatet visade att om laborativt material används i undervisningen bidrar det till att arbetssättet varieras. Då får eleverna större möjlighet att arbeta tillsammans i grupp, diskutera matematiska begrepp och idéer och uttrycka sitt matematiska tänkande. Syftet med laborativ matematik är att hjälpa eleverna att koppla samman det konkreta materialet med abstrakta begrepp, där läraren har en avgörande roll. Det laborativa materialet i sig hjälper inte eleverna till en ökad förståelse, utan det krävs god planering och reflektion över arbetet för att syftet ska uppnås. Elevers lust och motivation hänger ihop med elevers förståelse för matematik. På detta sett kan laborativ matematik bidra till att elevers intresse för ämnet ökar.

In this thesis the connections between the boundary conditions and the vari- ance of the solution to a stochastic partial differential equation (PDE) are investigated. In particular a hyperbolical system of PDE’s with stochastic initial and boundary data are considered. The problem is shown to be well- posed on a class of boundary conditions through the energy method. Stability is shown by using summation-by-part operators coupled with simultaneous- approximation-terms. By using the energy estimates, the relative variance of the solutions for different boundary conditions are analyzed. It is concluded that some types of boundary conditions yields a lower variance than others. This is verified by numerical computations.

The aim of this work is to study the relation between two invariants of water flow in a channel of finite depth. The first invariant is the height of the water wave and the second one is the flow force. We restrict ourselves to water waves of small amplitude. Using asymptotic technique together with the method of separation of variables, we construct all water waves of small amplitude which are parameterized by a small parameter. Then we demonstrate numerically that the flow force depends monotonically on the height.

Interaktiva skrivtavlor blir ett allt vanligare hjälpmedel i de svenska klassrummen. Syftet med denna litteraturstudie är att utifrån ett lärarperspektiv ge inblick i vad forskningen säger om vilka kunskaper som är lämpliga för att interaktiva skrivtavlor ska kunna användas så effektivt som möjligt i matematikundervisningen. Frågeställningarna behandlar lärares kunskapsbehov, vilka faktorer som påverkar utvecklingen och av dessa kunskaper samt hur lärarens roll förändras vid introduktionen av interaktiva skrivtavlor.

Litteraturstudiens resultat visar att en grundläggande kompetens inom IKT underlättar planering och undervisning med interaktiva skrivtavlor men är även en förutsättning för en lyckad vidareutbildning inom området. Lärare behöver ha insikt i vad interaktiv undervisning innebär och hur detta kan förverkligas med hjälp av den interaktiva skrivtavlan. Här är lärarens egen inställning avgörande för att en förändring av pedagogiken ska kunna ske.

Vid en satsning på interaktiva skrivtavlor i undervisningen behöver det finnas tid för vidareutbildning av den pedagogiska personalen. Utbildningen bör påbörjas gemensamt men anpassas sedan utefter de olika förkunskaper och behov som lärare har. För att introduktionen ska bli lyckad behöver den vara långsiktig och ge möjlighet för lärare att utveckla den egna färdigheten i användningen av interaktiva skrivtavlor.

Den interaktiva skrivtavlan kan under rätt förutsättningar vara en hjälp i att främja en mer interaktiv undervisning där elevers lärande hamnar i centrum och läraren intar rollen som handledare, coach eller samtalsledare. 

The distribution of particles in a rarefied gas in a vessel can be described by the Boltzmann equation. As an approximation of the solution to this equation, Caprino, Pulvirenti and Wagner [3] constructed a random N-particle system.

In the equilibrium case, they prove in [3] that the L¹-distance between the density function of k particles in the N-particle process and the k-fold product of the solution to the stationary Boltzmann equation is of order 1/N. They do this in order to show that the N-particle system converges to the system described by the stationary Boltzmann equation as the number of particles tends to infinity.

This is different from the standard approach of describing convergence of an N-particle system. Usually, convergence in distribution of random measures or weak convergence of measures over the space of probability measures is used. The purpose of the present thesis is to compare different modes of convergence of the N-particle system as N tends to infinity assuming stationarity.

Ruttningen av trafik i IP-nätverk sker ofta med hjälp av bågvikter som bestämmer vilken väg trafiken tar (kortastevägruttning). Problemet här är att avgöra ifall det existerar en uppsättning vikter givet ett önskat ruttningsschema. Den hör rapporten undersöker prestandan hos ett antal modeller och optimeringsprogram avsedda att lösa denna typ av problem som ofta kallas inversa kortastevägruttningsproblemet.

Undersökningen visar att det existerar en stor skillnad mellan modellerna och optimeringsprogrammen och att modellen baserad på cykelbaser löst med CPLEXdualopt lösaren är snabbast.

Investigation of stains from crime scenes are commonly used in the search for criminals. At The National Laboratory of Forensic Science, where these stains are examined, a number of questions of theoretical and practical interest regarding the databases of DNA profiles and the strength of DNA evidence against a suspect in a trial are not fully investigated. The first part of this thesis deals with how a sample of DNA profiles from a population is used in the process of estimating the strength of DNA evidence in a trial, taking population genetic factors into account. We then consider how to combine hypotheses regarding the relationship between a suspect and other possible donors of the stain from the crime scene by two applications of Bayes’ theorem. After that we assess the DNA profiles that minimize the strength of DNA evidence against a suspect, and investigate how the strength is affected by sampling error using the bootstrap method and a Bayesian method. In the last part of the thesis we examine discrepancies between different databases of DNA profiles by both descriptive and inferential statistics, including likelihood ratio tests and Bayes factor tests. Little evidence of major differences is found.

This thesis discusses the mathematical formulation and computational treatment of slow strain rate corrosion tests based on nonlinear finite elements methods. The theory is illustrated by a description of classical small strain elastoplasticity theory as implemented in the Comsol Multiphysics 3.2 software package. The possible extension of the theory to finite strain is briefly addressed. Practical simulations and results regarding the evolution of stresses, strains and geometric deformation are also presented and discussed. Experimental data used in simulation where reported by Onchi, Takeo et al. and published in Journal of Nuclear Science and Technology in May 2006.

In phylogenetic analysis one study the relationship between different species. By comparing DNA from two different species it is possible to get a numerical value representing the difference between the species. For a set of species, all pair-wise comparisons result in a dissimilarity matrix d.

In this thesis I present a few methods for constructing a phylogenetic tree from d. The common denominator for these methods is that they do not generate a tree, but instead give a connected graph. The resulting graph will be a tree, in areas where the data perfectly matches a tree. When d does not perfectly match a tree, the resulting graph will instead show the different possible topologies, and how strong support they have from the data.

Finally I have tested the methods both on real measured data and constructed test cases.

Given a random sample from a multivariate probability distribution p, the maximum minimum parents and children algorithm locates the skeleton of the directed acyclic graph of a Bayesian network for p provided that there exists a faithful Bayesian network and that the dependence structure derived from data is the same as that of the underlying probability distribution.

The aim of this thesis is to examine the consequences when one of these conditions is not fulfilled. There are some circumstances where the algorithm works well even if there does not exist a faithful Bayesian network, but there are others where the algorithm fails.

The MMPC tests for conditional independence between the variables and assumes that if conditional independence is not rejected, then the conditional independence statement holds. There are situations where this procedure leads to conditional independence being accepted that contradict conditional dependence relations in the data. This leads to edges being removed from the skeleton that are necessary for representing the dependence structure of the data.

This thesis surveys the issue of finding rational points on algebraic curves over finite fields. Since Goppa's construction of algebraic geometric codes, there has been great interest in finding curves with many rational points. Here we explain the main tools for finding rational points on a curve over a nite eld and provide the necessary background on ring and field theory. Four different articles are analyzed, the first of these articles gives a complete set of table showing the numbers of rational points for curves with genus up to 50. The other articles provide interesting constructions of covering curves: covers by the Hemitian curve, Kummer extensions and Artin-Schreier extensions. With these articles the great difficulty of finding explicit equations for curves with many rational points is overcome. With the method given by Arnaldo García in [6] we have been able to nd examples that can be used to define the lower bounds for the corresponding entries in the tables given in http: //wins.uva.nl/~geer, which to the time of writing this Thesis appear as "no information available". In fact, as the curves found are maximal, these entries no longer need a bound, they can be given by a unique entry, since the exact value of N_q(g) is now known.

At the end of the thesis an outline of the construction of Goppa codes is given and the NXL and XNL codes are presented.

This thesis makes a survey of converse theorems for Dirichlet series. A converse theo-rem gives sufficient conditions for a Dirichlet series to be the Dirichlet series attachedto a modular form. Such Dirichlet series have special properties, such as a functionalequation and an Euler product. Sometimes these properties characterize the modularform completely, i.e. they are sufficient to prove the proper transformation behaviourunder some discrete group. The problem dates back to Hecke and Weil, and has morerecently been treated by Conrey et.al. The articles surveyed are:

• "An extension of Hecke's converse theorem", by B. Conrey and D. Farmer
• "Converse theorems assuming a partial Euler product", by D. Farmer and K.Wilson
• "A converse theorem for ¡0(13)", by B. Conrey, D. Farmer, B. Odgers and N.Snaith

The results and the proofs are described. The second article is found to contain anerror. Finally an alternative proof strategy is proposed.

This report consider a system describing three competing species with populations x, y and z. Sufficient conditions for every positive equilibrium to be asymptotically stable have been found. First it is shown that conditions on the pairwise competitive interaction between the populations are needed. Actually, these conditions are equivalent to asymptotic stability for any two-dimensional competing system of the three species. It is also shown that these alone are not enough, and that a condition on the competitive interaction between all three populations is also needed. If all conditions are fulfilled, each population will survive on a long-term basis and there will be a stable coexistence.

In this paper I give a description and derivation of Dirichlet's problem, a boundary value problem, for p-harmonic functions on graphs and study an iterative method for solving it.The method's convergence is proved and some preliminary results about its speed of convergence are presented.There is an implementation accompanying this thesis and a short description of the implementation is included. The implementation will be made available on the internet at http://www.mai.liu.se/~anbjo/pharmgraph/ for as long as possible.

Schacket har sitt ursprung i Indien på 500-talet. Spelets karaktär har fascinerat människan genom tiderna. Mångamatematiker har analyserat spelet samt utvecklat problem knutna till det. I detta examensarbete analyserar vi destudier som undersökt om det finns en koppling mellan schackspelande och matematiklärande. Vi har ävenanalyserat studier som har undersökt om det finns en koppling mellan schackspelande och lärande i andraskolämnen. Det visar sig att det inte gjorts så många vetenskapliga studier för att undersöka dessa kopplingar. Deflesta av de studier som genomförts kvalificeras som kvasistudier. Flera studier visar att det inte finns någon tydligkoppling mellan schackspelande och matematiklärande. I vår litteraturstudie kan vi inte se att denna koppling finns,men vi anar dock att den finns. Vi hoppas att det i framtiden genomförs mer vetenskaplig forskning inom området.

In general relativity, the nature of mass is non-local. However, an appropriate def-inition of mass at a quasi-local level could give a more detailed characterization ofthe gravitational field around massive bodies. Several attempts have been made tofind such a definition. One of the candidates is the Hawking mass. This thesispresents a method for calculating the spin coefficients used in the expression for theHawking mass, and gives a closed-form expression for the Hawking mass of ellipsoidal2-surfaces in Minkowski spacetime. Furthermore, the Hawking mass is shown to havethe correct limits, both in Minkowski and Schwarzschild, along particular foliationsof leaves approaching a metric 2-sphere. Numerical results for Schwarzschild are alsopresented.

The well-known Dijkstra's algorithm uses weights to determine the shortest path. The focus here is instead on the opposite problem, does there exist weights for a certain set of shortest paths? OSPF (Open Shortest Path First) is one of several possible protocols that determines how routers will send data in a network like the internet. Network operators would however like to have some control of how the traffic is routed, and being able to determine the weights, which would lead to the desired shortest paths to be used, would be a help in this task.The first part of this thesis is a mathematical explanation of the problem with a lot of examples to make it easier to understand. The focus here is on trying to combine several routing patterns into one, so that the result will be fewer, but more fully spanned, routing patterns, and it can e.g. be shown that there can't exist a common set of weights if two routing patterns can't be combined.The second part is a program that can be used to make several tests and changes to a set of routing patterns. It has a polynomial implementation of a function that can combine routing patterns. The examples that I used to combine routing patterns, showed that this will increase the likelihood of finding and significantly speed up the computation of a “valid cycle”.

Den forensiska vetenskapen innefattar en mängd olika vetenskaper som tillämpas för att bistå och besvara frågor av intresse för rättsväsendet. Skoavtrycksjämförelser har använts sedan slutet av 1700-talet för att bistå i brottsutredningar. Genom att undersöka egenskaper hos ett skoavtryck kan en forensiker ge utredaren värdefull information om skon och ibland även om bäraren. I bästa fall är skoavtrycket så unikt att det kan individualiseras och identifieras till en specifik sko.

För att underlätta och förbättra den forensiska bevisvärderingen är det av stort intresse att statistiskt erhålla förekomsten av ett bevis. Genom att samla in data gällande sulmönster och sedan etablera en databas kan styrkan hos ett specifikt skoavtryck fastställas. I denna studie samlades 687 avtryck in slumpmässigt och lades in i ett visualiserat databasklassificeringssystem, SIMSALAPIM, varpå en statistisk utvärdering utfördes.

Resultatet i denna studie visar på att ett specifikt sulmönster generellt förekommer endast en gång i databasen, varför det kan sägas att ett skoavtryck tillför en viss styrka/värde som forensiskt bevis även om det inte besitter några individualiserande detaljer. Vidare, genom ytterliggare statistiska utvärderingar, kunde även ett samband mellan ålder och typ av sko ses.

Is it possible for a minimal model of anaerobic muscle contraction to describe measured data? There have been many models trying to describe separate parts of the human body with various results. In this thesis a model has been created to describe all the essential biochemical reactions of anaerobic muscle metabolism during contraction but with as few states and parameters as possible. A toolbox in Matlab was used for simulation and also for parameter estimation. The best model eventually got validated to see statistically how well it can describe the measured data. During the simulations an unnecessary assumption got revealed which helped us to understand the system better. The vision of a whole-body model may not be so far into the future as many think and the first step is to understand smaller biochemical systems like muscle contraction.

In today’s society we are surrounded by large amounts of information, quick decisions and high expectations to perform successfully in everything we do. As a statistical agency, Statistics Sweden is responsible for producing some of the information that is used for decision-making in society and is therefore under constant internal and external pressure to perform well. The responsibility to produce high-quality statistics to all customers and users is not simple. What is the quality of the statistics produced? How do we assure and control the quality of the statistics? Do we use our resources efficiently? These are important questions, which need to be addressed.

One way of addressing these and other issues is to work with quality in a systematic fashion. Thus there is a need for a Quality Management System, i.e., a systematic way to handle quality issues of all kinds in all parts of the organization, and to continue the journey towards the vision of being a “world class statistical agency”.

This Masters thesis is a description and discussion of the efforts to find a suitable Quality Management System. The thesis starts with a discussion about the vague quality concept, continues with a description of numerous frameworks, methods and systems related to quality management as well as their pros and cons and ends with a recommendation for Statistics Sweden. The recommendation is to use the EFQM Excellence Model as a quality framework, Six Sigma as a tool-box for improvement projects and modern internal auditing methods for evaluation and follow-up. Finally, issues related to the implementation of the system are discussed.

This thesis contributes to theoretical and quantitative aspects of machine scheduling. In fact, it is dedicated to the issue of scheduling n jobs on one single machine. The scope is limited to deterministic problems - i.e. those with all data available and known with certainty in advance - with tardiness involved objectives; hence, the common denominator of all problems addressed are jobs with a predetermined due date assigned to. A job is finished on time as long as it is completed before its due date, otherwise it is said to be tardy. Since the single machine utilized is assumed to be restricted to process at most one job at a time, the aim is to find a proper sequence - a schedule - of how to process the jobs in order to best fulfill a certain objective. The contribution of this thesis aims at giving a state of the art survey and detailed review of research effort considering the objectives "minimizing the number of tardy jobs" and "minimizing the weighted number of tardy jobs". Further, the objectives of "minimizing the total tardiness", "minimizing the total weighted tardiness" and "minimizing the maximum tardiness" are adumbrated but reduced to a rough overview of research effort made.

In this project we illustrate how queueing simulation may be used to find the optimal interval for checkpointing problems and compare results with theoretical computations for simple systems that may be treated analytically.

We consider a relatively simple model for an internet banking facility. From time to time, the application server breaks down. The information at the time of the breakdown has to be passed onto the back up server before service may be resumed. To make the change over as efficient as possible, information of the state of user’s accounts is saved at regular intervals. This is known as checkpointing.

Firstly, we use GPSS (a queueing simulation tool) to find, by simulation, an optimal checkpointing interval, which maximises the efficiency of the server. Two measures of efficiency are considered; the availability of the server and the average time a customer spends in the system. Secondly, we investigate how far the queueing theory can go to providing an analytic solution to the problem and see whether or not this is in line with the results obtained through simulation.

The analysis shows that checkpointing is not necessary if breakdowns occur frequently and log reading after failure does not take much time. Otherwise, checkpointing is necessary and the analysis shows how GPSS may be used to obtain the optimal checkpointing interval. Relatively complicated systems may be simulated, where there are no analytic tools available. In simple cases, where theoretical methods may be used, the results from our simulations correspond with the theoretical calculations.

Objective: In recent years there has been an increasing interest within the clinical (medical) science in measuring people’s health. When estimating quality of life, present practise is to use the EQ-5D questionnaire and an index which weighs the different questions. The question is what happens if the individuals estimate there own health, would it differ from the public preferences? The aim is to make a new prediction model based on the opinion of patients and compare it to the present model based on public preferences.

Method: A sample of 362 patients with unstable coronary artery disease from the Frisc II trial, valued their quality of life in the acute phase and after 3, 6 and 12 months. The EQ-5D question form and also the Time Trade-off method (TTO), a direct method of valuing health was used. A regression technique managing panel data had to be used in estimating TTO by the EQ-5D and other variables like gender and age.

Result: Different regression techniques vary in estimating parameters and standard errors. A Generalized Estimating Equation approach with empirical correlation structure is the most suitable regression technique for the data material. A model based on the EQ-5D question form and a continuous age variable proves to be the best model for an index derived by individuals. The difference between heart patients own opinion of health and the public preferences differs a great amount in the severe health conditions, but are rather small for healthy patients. Of the total 243 health conditions, only eight of the conditions were estimated higher by the public index.

Conclusions: As the differences between the approaches are significantly large the choice of index could affect the decision making in a health economic study.

This thesis is about a generalization of permutation theory. The concept of pattern avoidance in permutation matrices is investigated in a larger class of matrices - the alternating sign matrices. The main result is that the set of alternating sign matrices avoiding the pattern 132, is counted by the large Schröder numbers. An algebraic and a bijective proof is presented. Another class is shown to be counted by every second Fibonacci number. Further research in this new area of combinatorics is discussed.

Fractal analysis is an important tool when we need to study geometrical objects less regular than ordinary ones, e.g. a set with a non-integer dimension value. It has developed intensively over the last 30 years which gives a hint to its young age as a branch within mathematics.

In this thesis we take a look at some basic measure theory needed to introduce certain definitions of fractal dimensions, which can be used to measure a set's fractal degree. Comparisons of these definitions are done and we investigate when they coincide. With these tools different fractals are studied and compared.

A key idea in this thesis has been to sum up different names and definitions referring to similar concepts.

In this report, we show how to implement direct ray tracing of B´ezier surfaces on graphics processing units (GPUs), in particular bicubic rectangular Bézier surfaces and nonparametric cubic Bézier triangles. We use Newton’s method for the rectangular case and show how to use this method to find the ray-surface intersection. For Newton’s method to work we must build a spatial partitioning hierarchy around each surface patch, and in general, hierarchies are essential to speed up the process of ray tracing. We have chosen to use bounding box hierarchies and show how to implement stackless traversal of such a structure on a GPU. For the nonparametric triangular case, we show how to find the wanted intersection by simply solving a cubic polynomial. Because of the limited precision of current GPUs, we also propose a numerical approach to solve the problem, using a one-dimensional Newton search.

The Laplace equation and the related p-Laplace equation are closely associated with Sobolev spaces. During the last 15 years people have been exploring the possibility of solving partial differential equations in general metric spaces by generalizing the concept of Sobolev spaces. One such generalization is the Newtonian space where one uses upper gradients to compensate for the lack of a derivative.

All papers on this topic are written for an audience of fellow researchers and people with graduate level mathematical skills. In this thesis we give an introduction to the Newtonian spaces accessible also for senior undergraduate students with only basic knowledge of functional analysis. We also give an introduction to the tools needed to deal with the Newtonian spaces. This includes measure theory and curves in general metric spaces.

Many of the properties of ordinary Sobolev spaces also apply in the generalized setting of the Newtonian spaces. This thesis includes proofs of the fact that the Newtonian spaces are Banach spaces and that under mild additional assumptions Lipschitz functions are dense there. To make them more accessible, the proofs have been extended with comments and details previously omitted. Examples are given to illustrate new concepts.

This thesis also includes my own result on the capacity associated with Newtonian spaces. This is the theorem that if a set has p-capacity zero, then the capacity of that set is zero for all smaller values of p.

I detta examensarbete har jag studerat hur elever i år 6 tänker vid decimalform inom taluppfattningens område. Begreppet taluppfattning är ett mycket brett område där det dessutom finns många olika uppfattningar om vad som ingår i begreppet. Därför har jag fokuserat mitt arbete på övergången från heltal till decimaltal. Syftet med undersökningen är att belysa vikten av att lärare har goda matematiska och metodiska kunskaper, hur elever utvecklar sin taluppfattning och förhoppningsvis ge lite tips och idéer som kan användas i undervisningen med elever. Studien omfattar en litteraturgenomgång som behandlar begreppet taluppfattning där jag delat upp kapitlet i tre underrubriker: Vad innebär det att elever har en grundläggande taluppfattning? Hur utvecklar elever en god taluppfattning? Vilka speciella svårigheter finns vid övergången från heltal till decimaltal? Under metoddelen skriver jag om hur pilot- och huvudundersökningen gjordes innan läsaren får ta del av undersökningarnas resultat. Resultatet av undersökningen är att många elever har svårt för övergången från heltal till decimaltal. Det finns tre moment i förståelsen av positionssystemet som tycks orsaka större svårigheter och det är platssiffrans värde, multiplikation med tal mindre än ett och uppskattning av rimligheten av svaret i en beräkning. Uppsatsen innehåller också ett avsnitt om vad vi lärare kan göra för att underlätta elevers förståelse för övergången från heltal till decimaltal.

This report presents an analysis of a partial differential equation, resulting from population model with age structure. The existence and uniqueness of a solution to the equation are proved. We look at stability of the solution. The asymptotic behaviour of the solution is treated. The report also contains a section about the connection between the solution to the age structure population model and a simple model without age structure.

Quantum key growing, often called quantum cryptography or quantum key distribution, is a method using some properties of quantum mechanics to create a secret shared cryptography key even if an eavesdropper has access to unlimited computational power. A vital but often neglected part of the method is unconditionally secure message authentication. This thesis examines the security aspects of authentication in quantum key growing. Important concepts are formalized as Python program source code, a comparison between quantum key growing and a classical system using trusted couriers is included, and the chain rule of entropy is generalized to any Rényi entropy. Finally and most importantly, a security flaw is identified which makes the probability to eavesdrop on the system undetected approach unity as the system is in use for a long time, and a solution to this problem is provided.

Nynas produces bitumen at two refineries in Sweden. The bitumen is shipped to seven depots along the swedish coast line, and from the depots special trucks handle the transportation to customers. Recently Nynas has transformed its supply chain and closed down a few depots. At the moment the company is considering a further reduction of the number of depots. In connection to these discussions an analyse of the companys distributionsystem and of possible changes is required. In this thesis an optimization model is developed that simulates Nynas distribution of bitumen from the depots to the customers. The model is used to investigate the required vehicle fleet size for a number of different scenarios, that is with different depots closed down. The question to be answered is, thus, what depots could be closed without any dramatic increase in the required vehicle fleet size? Scenarios where customers are allocated an increased storage capacity are also studied.

The distribution model that is developed is an inventory route planning problem. It is solved by column generation. Each column represents a route and is generated by a subproblem with restrictions on permitted working hours for the truck drivers. Integer solutions are generated heuristically.

Simulations that have been performed with the model reveals interesting differences concerning how the distribution is handled in different parts of Sweden. In western Sweden the transportation planning works well, but the distribution in the central parts of the country could be planned in a better way. Results from simulations also show that the depots in Norrköping and Västerås could be closed down without increasing the vehicle fleet. Probably, the existing vehicle fleet size will be sufficient even with the Kalmar-depot closed down. Nevertheless, Nynas transportation suppliers will have to purchase new vehicles if the Sandarne-depot is to be closed.

Another interesting conclusion that can be drawn from this thesis is that there is a potential for reducing the vehicle fleet size if the storage capacity is increased at a few chosen customers. A considerably small increase in the storage capacity at a few big customers that are located far from the depots will have a great effect.

Denna uppsats presenterar en undersökning av fallstudiekaraktär. Fallet är ett matematiklärarkollegium på en gymnasieskola i Sverige, vilket studeras med inriktning på hur lärarna i det lägger upp sin undervisning, och varför de gör som de gör. Utifrån kvalitativa intervjuer behandlar uppsatsen hur tre av matematiklärarna beskriver att de introducerar begreppet derivata och orsakerna till deras lektionsupplägg. Intervjuerna analyseras med hjälp av en antropologisk didaktikteori.

I uppsatsen redogörs för hur lärarna tänker sig sina undervisningsupplägg i sin helhet. Alla börjar emellertid avsnittet om derivata med en intuitiv beskrivning av detta begrepp. Denna beskrivning sker utifrån ett exempel om medelhastighet och momentanhastighet. Lärarna betonar den praktiska kunskapen, att kunna derivera, framför den teoretiska.

Angående de faktorer som styr de tre lärarna till den undervisning de har lyfter lärarna fram olika företeelser. Kursplanen, läroboken och elevinflytande är de faktorer som lärarna ser som de som påverkar dem mest. Lärarna menar även att de framförallt påverkas av det de låter sig styras av och de betonar sitt eget tänkande som orsak till uppläggen. Utifrån den antropologiska didaktikteorin observeras en styrande faktor som de intervjuade lärarna inte tar upp: Den akademiska matematiska kunskapen. Denna påverkar lärarna indirekt genom att den påverkar kursplanerna och upplägget på läroboken som lärarna använder. Även elevernas förkunskaper är något som styr lärarna mycket.

We derive the equation linking the Weyl tensor with its Lanczos potential, called the Weyl-Lanczos equation, in 1+3 covariant formalism for perfect fluid Bianchi type I spacetime and find an explicit expression for a Lanczos potential of the Weyl tensor in these spacetimes. To achieve this, we first need to derive the covariant decomposition of the Lanczos potential in this formalism. We also study an example by Novello and Velloso and derive their Lanczos potential in shear-free, irrotational perfect fluid spacetimes from a particular ansatz in 1+3 covariant formalism. The existence of the Lanczos potential is in some ways analogous to the vector potential in electromagnetic theory. Therefore, we also derive the electromagnetic potential equation in 1+3 covariant formalism for a general spacetime. We give a short description of the necessary tools for these calculations and the cosmological formalism we are using.

Jag ville få en större förståelse för varför det är så många elever som anser att matematik är ett tråkigt ämne. Frågeställningarna som detta arbete har fokuserats kring är elevernas uppfattningar och attityder om matematik och vad det är som gör dem motiverade i ämnet.

Resultaten visade att det framför allt var sådan matematik som de kände att de hade användning av i vardagslivet som gjorde dem motiverade. Eleverna hade blandade uppfattningar till exempel så ansåg de att matematik var tråkigt och ibland roligt. Områden som eleverna kände var bra att kunna var till exempel procent och huvudräkning. Algebra och ekvationer var det ingen som förstod vad man skulle med det till. Det var flera elever som ansåg att ekvationer var onödigt att kunna. En vanlig lektion för eleverna var ofta en kort genomgång och sedan enskilt räknande. De fick samarbeta med bänkkamraten om de gjorde det tyst enligt eleverna. Det var sällan som läraren hade grupparbeten, men ett par per läsår blev det. Matematikboken ansåg de var sådär till att vara bra. Det fanns ett fåtal uppgifter i läroben som väckte deras intresse. Några elever sa att det berodde på humöret hur mycket det blev gjort på lektionerna. Vissa var trötta på eftermiddagen och då orkade de inte med att räkna på de lektioner som låg på eftermiddagen. Det pratades mycket på lektionerna som inte handlade om matematik enligt eleverna. De hade svårt att gå vidare om de körde fast utan de väntade på att få hjälp av läraren och det kunde ta tid ibland. Då satt eleverna bara och väntade utan att räkna och ibland så pratade de medan de väntade med bänkkamraten. Detta innebar att vissa lektioner hade de bara räknat något enstaka tal. Eleverna i årskurs nio var mer nöjda med matematikboken än eleverna i årskurs sju. Läraren försökte stärka elevernas tilltro till sin egen förmåga genom att ge eleverna kortsiktiga mål som är möjliga för eleven att nå. I Skolverkets rapport om"Lusten att lära - med fokus på matematiken"har kommit fram till att eleverna behöver känna relevans för det som de ska lära sig för att kunna bli intresserade av området.

In this thesis we calculate the Hawking mass numerically for surfaces in Kerr spacetime. The Hawking mass is a useful tool for proving the Penrose inequality and the result does not contradict the inequality. It also does not contradict the assumption that the Hawking mass should be monotonic for surfaces in Kerr spacetime. The Hawking mass is quasi-local and defined by the spin coefficents of Newman and Penrose, so first we give a discussion about quasi-local quantities and then a short description of the Newman-Penrose formalism.

Uppsatsens syfte har varit att försöka få en bild av hur bevis och bevisföring fokuseras och har fokuserats i gymnasiematematiken. De frågeställningar arbetet inriktas på är vad elever har för attityd till matematiska bevis, syn på matematiska bevis samt kunskap om matematiska bevis. I uppsatsen har olika läroböcker som använts under de senaste decennierna studerats, och då genom att se hur härledningen av ett par centrala satser har genomförts. Vidare har kursplaner, läroplaner samt litteratur som berör didaktiska aspekter på matematiska bevis granskats. För att få svar på frågeställningarna ovan så har dels en enkätundersökning och dels ett test genomförts bland naturvetarelever på en gymnasieskola i Sydsverige.

Resultatet av studien visar att det är svårt att påstå att bevisfokuseringen i läroböcker och kursplaner skulle ha genomgått en drastisk förändring under de senaste decennierna mot en mindre bevisorienterad matematik, även om det finns exempel från läroboksanalysen som stöder ett sådant påstående. Resultatet från enkäten visar att elevernas uppfattningar om matematiska bevis på det hela taget är diffusa och att det finns många olika typer av föreställningar. Ett påtagligt resultat är att eleverna resonerar kring formlers giltighet när de beskriver det matematiska beviset. En elevgrupp i studien har en syn på det matematiska beviset som ligger nära ett naturvetenskapligt förhållningssätt. Anledningen till att det finns elevgrupper som associerar matematisk bevisföring till en naturvetenskaplig metod kan ha sin förklaring i att eleverna är färgade av andra förhållningssätt som finns i deras utbildning. Resultatet visar å andra sidan att det finns elever som uppfattar beviset som en del av ett större sammanhang där beviset bygger på tidigare grunder och genomförs exempelvis med hjälp av logiken. Undersökningen ger också uttryck för att en stor del av eleverna anser att det är viktigt att kunna bevisa matematiska satser, samtidigt som många av eleverna misslyckades med att bevisa enklare påståenden i det test som genomfördes. Detta kan möjligen hänga samman med att bara omkring en fjärdedel av de elever som ingick i studien instämde helt i påståendet att de haft möjlighet att öva på bevis i gymnasiet.

There are many types of bioreactors used for producing bacteria populations in commercial, medical and research applications.

This report presents a systematic discussion of some of the most important models corresponding to the well known reproduction kinetics such as the Michaelis-Menten kinetics, competitive substrate inhibition and competitive product inhibition. We propose a modification of a known model, analyze it in the same manner as known models and discuss the most popular types of bioreactors and ways of controlling them.

This work summarises much of the known results and may serve as an aid in attempts to design new models.

Whist is one of the most played card games of the world. Though there have been many studies made in the field of game theory, whist is still somewhat of an unchartered territory. In this thesis some methods to obtain an optimal strategy for whist are discussed.

Whist belongs to a group of games called logical games. For this group there exists algorithms which result in an optimal strategy. Two algorithms where examined. The minmax algorithm and the alphbeta algorithm. these algorithms could be adapted to whist

It is possible that there are methods that use the properties of the cards better the the former algorithms to get an optimal result. A few such methods will also be discussed.

The practical result of the theoretical investigation was a game where the adapted algorithms were implemented.

I en rapport från Skolverket framkommer att elever uppger att de lär sig mest och bäst när matematiken är relevant och begriplig, verklighetsanknuten samt då undervisningen är varierad, flexibel och där monotona räkningar undviks (Skolverket 2003). Skulle kanske då utomhusmatematiken kunna vara ytterligare en metod för att förklara problem för elever, ge matematiken en verklighetsanknytning och samtidigt skapa variation i undervisningen?

Det jag vill uppnå i arbetet är att beskriva hur utomhusmatematik kan användas som ett komplement till ordinarie matematikundervisning, sett ur ett lärarperspektiv. Detta har jag försökt svara på genom att ställa frågorna; Hur beskriver och resonerar undervisande lärare i grundskolans senare år om utomhusmatematik och elevernas lärande? Vilka faktorer påverkar/avgör om lärare använder sig av utomhusmatematik samt vilka utomhusmatematiska övningar ger lärarna exempel på? Jag har utgått från en explorativ ansats med ett hermeneutiskt perspektiv och som metod har jag använt mig av kvalitativa intervjuer där jag intervjuat sex lärare för att få svar på mina frågeställningar.

Resultatet visar att utomhusmatematik är ett arbetssätt där man använder sig av praktiska och konkreta matematikövningar som är verklighetsanknutna och som utförs utomhus. Majoriteten av eleverna tycker att det är positivt med utomhusmatematik och lärarna ser att elevernas lärande påverkas både direkt och indirekt. Några av de fördelar som nämnts är att eleverna använder fler sinnen vilket leder till ett annat tänkande som kan ge fördjupade kunskaper samtidigt som eleverna upptäcker vad matematiken kan användas till utanför klassrummet. Nackdelar finns, dels de som är påverkbara för läraren som exempelvis att det krävs vana för att utomhusmatematik ska ge bra resultat, dels de som är svåra att påverka för läraren till exempel schemat och skolkoden på skolan. Utomhusmatematiska övningar går att använda i ett flertal områden inom grundskolans matematik.

Asymptotically flat spaces are widely studied because it is one natural way of describing an isolated system in general relativity. In this thesis we study what happens to the Lanczos potential at spacelike infinity in such spacetimes. By transformations of the Weyl-Lanczos equation, we derive expressions for the limiting equations on both the timelike unit hyperboloid, and the timelike unit cylinder. Finally the Newman-Penrose formalism is used to get a component version of the equations.