Göm meny

Sommar 2014

1. Som ett sommarjobb säljer Linus mjukglass i en glasskiosk. Glassen trycks ut från glassmaskinen med hastigheten 5cm per sekund. Linus fyller en glasstrut med glass och behöver sedan 18 sekunder för att ta betalt innan han gör nästa glass. En 20-liters påfyllning i glassmaskinen räcker i exakt en timme. Hur stora är glassarna om röret i glassmaskinen, som glassen trycks genom, har en radie på 4/3 cm? (Vi antar att alla glassar är lika stora och att det alltid tar exakt 18 sekunder att ta betalt.)


Lösning

Låt $l$ vara "längden" av en glass. Glassen har alltså formen av en cylinder med höjd $l$ och radie $r=4/3$cm. Dess volym är då $V=4\pi r^2 l$. Att trycka ut denna cylinder från glassmaskinen tar $l/5$ sekunder. Det tar allstså $18+l/5$ sekunder att sälja en glass, och Linus säljer $3600/(18+l/5)$ glassar. Deras totala volym är då \[ \frac{3600}{18+l/5} \pi r^2 l \text{ cm}^3, \] vilket skall vara 20 liter $= 20\,000$ cm$^3$. Vi löser ekvationen \[ 20\,000 = \frac{3600}{18+l/5} \pi r^2 l \] och får efter förkortning att $10(90+l) = 9\pi r^2 l$. Eftersom $r=4/3$, så är $9 r^2=16$, så \[ l = \frac{900}{16\pi-10} = \frac{450}{8\pi-5} \doteq 22,35 \text{ cm}. \] Glassvolymen är då $V=4\pi r^2 l = 125$ cm$^3 \doteq 125$ ml.


2. Lotta vill bygga en pool i form av en regelbunden månghörning inskriven i en cirkel med radie 2 meter. Om n-hörningens sidlängd är $a_n$, visa att 2n-hörningens sidlängd blir
$a_{2n} = 2\sqrt{2-\sqrt{4-(a_n/2)^2}}$. Använd detta för att beräkna sidlängden i en regelbunden 8-hörning och en 16-hörning. Vad blir sidlängden i en regelbunden $2^k$-hörning för $k=2,3,\ldots$?


Lösning

Klicka här!

3. En motorcykel skall köra 3/4 varv genom en rondell. Vilken väg blir kortare, innerfilen eller ytterfilen? Om en fil är 3 m bred, hur många meter kortare blir den kortare vägen? Blir svaren annorlunda om den bara kör 1/4 varv?


Lösning

Klicka här!

Sidansvarig: jana.bjorn@liu.se
Senast uppdaterad: 2019-12-03