Svar TANA39/40 Numeriska metoder M - 97-03-17 /es

1. 
   
   
   
   
   
   
   
   Svar: Resultatet har 1 korrekt decimal och 2 signifikanta siffror.
2. Approximativt värde på summan:
   
   För två signifikanta siffror räcker att vi har tre korrekta decimaler.
   
   
   Svar: Det behövs minst 5 termer i summan.

3. 
   
   
   Svar: Vi får p=1 och .

   Svar:

4. 1. Trapetsregeln ger

      
      

      
      
      
      
      Detta totalfel är avsevärt mindre än de båda trunkeringsfelen i .
      Svar:

   2. • 
        f innehåller ingen singularitet, så Rombergs metod kan användas. Däremot innehåller derivatorna av f singulariteter i origo, så konvergensen blir långsam.
      • Partialintegration
        
        Använd Rombergs metod på . Nu har varken g eller g' någon singularitet, så konvergensen har snabbats upp. Däremot innehåller högre derivator fortfarande singulariteter. Fler partialintegrationer kan snabba upp konvergensen ytterligare.
      • Taylorutveckling
        
        Serien konvergerar snabbt, så det behövs inte så många termer för att komma upp i god noggranhet.
      • Variabelsubstitution
        Sätt och
        
        Varken h eller dess derivator innehåller några singulariteter. Rombergs metod går därför att använda och konvergensen blir snabb.
      • Subtraktion av singularitet (långsökt i detta fall)
        
        Rombergs metod kan användas på . Varken y eller y' har några singulariteter. Högre derivator av y har däremot singulariteter i 0.
      • Användning av viktfunktion (ingår ej i denna kurs)
        Ansätt .
        Bestäm koefficienterna A, B och C så att integralen blir exakt för z(x)=1, x, . Man erhåller då en variant av Simpsons formel.
5. 1. Ekvationssystemet skrives i den ordning som ges och därefter bytes rad 1 och 3:
      
      Rad 2 och 3 bytes:
      
      Svar:
   2. 
      
   3. 
      
      Svar:
6. 1. Eulers metod ger
      
   2. 
      
      Svar: ger minst trunkeringsfel.
   3. Runge-Kuttas metod ger:
      Svar: y(4)=3.456434
   4. Svar:
      
      Notera att de valda steglängderna är för stora för att erhålla en god noggranhet.

7. 1. metod: där
      
      Acceptera

      är en approximation av derivatan vilken användes i Metodoberoende feluppskattningen:

      

      

   2. 
      vilket ger
   3. Vi har (minst) kvadratisk konvergens om .
      och
      ger och .
      (Man kan visa att i allmänhet så p=2.)