Svar TANA39/40 Numeriska metoder M och Mx - 97-05-02 /es

1. är positiv och monotont avtagande från n=2.
   
   
   Svar: Det behövs minst 6 termer i summan.
2. 
   
   
   behövs ej
   
   

   Derivera (*) för att bestämma .
   
   (**) och de inramade ekvationerna ger följande tridiagonala ekvationssystem:
   
   

3. 1. Integralen har en singularitet i origo.
      
      • Partialintegration
        
        Nu har inte f någon singularitet i intervallet, så Rombergs metod kan användas på . Derivatan till f har däremot en singularitet i origo, vilket gör att konvergensen blir långsam. Fler partialintegrationer kan snabba upp konvergensen.
      • Variabelsubstitution
        Sätt och
        Varken g eller dess derivator innehåller några singulariteter. Rombergs metod går därför att använda med relativt snabb konvergenshastighet.
      • Taylorutveckling
        
        Serien konvergerar snabbt, så det behövs inte så många termer för att komma upp i god noggranhet.

   2. Alt. 1. Taylorutveckling

      
      Svar: .

      Alt. 2. Variabelsubstitution

      
      Trapetsregeln ger

      
      

      
      
      
      
      Svar: .

4. 
   Diskretisering ger:
   
   

   h=0.5

   

   h=0.25

   

   Richardsonextrapolation:
   
   Svar: .

5. 1. Ansätt andragradspolynomet:
      .
      Det överbestämda ekvationssystemet Ac=b blir:
      .
      Normalekvationerna blir:
      
      Svar: .
   2. Svar: . Max antas i punkten .
6. Eftersom vingen ligger symmetriskt kring x-axeln räcker det med att titta på den positiva delen. För att tjockleken på vingen ska vara 0.1 m måste höjden vara 0.05 i den sökta punkten.
   
   
   Newton-Raphson:

   Lösning 1

   .
   
   Acceptera .
   Metodoberoende feluppskattning:
   kan försummas.
   
   Svar: .

   Lösning 2

   .
   
   Acceptera .
   Metodoberoende feluppskattning:
   kan försummas.
   
   Svar: .

7. 1. 
      Omskrivning av differentialekvationen till ett system av första ordningens differentialekvationer:
      
      Eulers metod:
      
      
   2. 
      
      
      Svar: .
   3. Richardsonextrapolation ger:
      
      Svar: .