TANA 39/40 Numeriska metoder för M 1996-09-03

1. Hur många termer måste summeras för att

   

   skall kunna anges med ett absolut fel

2. Bestäm approximationsordningen p och trunkeringsfelet hos följande approximation till tredjederivatan

   

   Ange på formen och ge värdena på p och (däremot behövs ej värdena på och följande koefficienter).

   Ange även tillhörande formel för inverkan från avrundningsfelet,

3. Bestäm samtliga rötter med sex signifikanta siffror till ekvationen

   

   på intervallet

4. Interpolera följande punkter utnyttjande en naturlig kubisk spline-funktion.

   

   Beräkna de interpolerade funktionsvärdena för och Skissa spline-funktionen!

5. 1. Beräkna, med en numerisk metod, integralen

      

      med ett absolut fel då B=1.

   2. Antag istället att . Ange en gräns för det därav resulterande felet i integralvärdet i a).

6. I en kinesisk lärobok Nio kapitel om den matematiska konsten från 300 f.Kr. och tryckt 1115 e.Kr. finns följande problem:

   Skörden från en kärve av korn av hög kvalitet, två skärvar av medelkvalitet och tre kärvar av låg kvalitet är 26 viktenheter. Skörden från två kärvar av hög kvalitet, tre kärvar av medelkvalitet och en kärve av låg kvalitet är 34 viktenheter. Skörden från tre kärvar av hög kvalitet, två kärvar av medelkvalitet och en kärve av låg kvalitet är 39 viktenheter. Vilken skörd erhålles av hög, medel-, och låg kvalitet?

   1. Skriv om detta problem som ett vanligt ekvationssystem A x = b, och lös det med Gauss-elimination enligt reglerna och partiell pivotering, likaså enligt reglerna.

      Bestäm därvid vikten av en kärve av respektive kvalitet!

   2. Om vi antar att mätfelet vid viktmätningen är viktenhet, hur stort kan felet då bli för vikten av en kärve av hög kvalitet? Använd
   3. LR -faktorisera matrisen A.

7. En kropp med massan kg är fäst i en fjäder, vars andra ände är fastsatt i något som ej rör sig. Kroppen får ett rörelsemotstånd

   

   från luften, där B = 10 kg/s är en dämpningskonstant. Fjäderns strängkonstant är k = 100 kg/

   Rörelseekvationen är

   

   och startvärdena är y(0) = 1, y'(0) =0.

   Bestäm läget vid sekunder utnyttjande Eulers metod. Räkna med sex decimaler.

   1. Använd steglängden

   2. Använd steglängden

   3. Med steglängden erhölls

   4. Använd Richardsonextrapolation för att få ett bra värde på Tänk till!