FAQ

Tentaanmälan

Fråga: Hej Hans! Jag har glömt att anmäla mig till din tenta, och nu har anmälningstiden gått ut. Kan du göra någonting åt saken?

Svar: Nej, varken jag eller någon annan! Se nedanstående utdrag ur Lärarens tentamensguide.

Men det kan förstås vara värt att chansa och gå dit ändå! Finns det lediga platser i salen så brukar man få tentera.

L'Hôpitals regel

Fråga: Är det tillåtet att använda L'Hôpitals regel för att beräkna gränsvärden på analystentorna?

Svar: Vi ser helst att man inte gör det, men det godtas förutsatt att man korrekt redogör för att alla nödvändiga förutsättningar (se nedan) är uppfyllda. Det är dock ytterst sällsynt att någon verkligen lyckas göra detta på en tenta, så det rekommenderas inte att försöka!

Fråga: Varför gillar ni på MAI inte att man använder L'Hôpitals regel i analyskurserna?

Svar: För gränsvärden i TATA41 (Envariabelanalys del 1) ligger det ofta på gränsen till cirkelresonemang att åberopa L'Hôpital. Gränsvärdena i den kursen kan ju beräknas med hjälp av standardgränsvärdena, vilka även används för att härleda derivatorna för de elementära funktionerna. Om man då t.ex. försöker beräkna gränsvärdet då x → 0 av sin(2x) / x genom att derivera täljare och nämnare, 2 cos(2x) / 1, så har man när man deriverar sinusfunktionen implicit använt just det gränsvärde man ska beräkna! I TATA42 (Envariabelanalys del 2) förekommer mer komplicerade gränsvärden som kan beräknas med hjälp av Taylorutveckling. Men om funktionerna f och g är så snälla att de kan serieutvecklas så blir L'Hôpitals regel lite poänglös; den kan bevisas på en rad utifrån serieutvecklingarna i detta fall, och vid gränsvärdesberäkningen är det är minst lika mycket jobb att derivera (så många gånger som behövs) som att serieutveckla (så långt som behövs). Regelns verkliga användbarhet ligger snarare i att den kan användas i teoretiska sammanhang under väldigt svaga förutsättningar, och i detta allmänna fall är beviset inte alls så enkelt.

Fråga: Vilka är då förutsättningarna för L'Hôpitals regel egentligen?

Svar: Det finns en del olika varianter. Här är en generell version av regeln, från den kända läroboken Principles of Mathematical Analysis av Walter Rudin. Antag att

• f och g är reellvärda funktioner, deriverbara på intervallet (a, b), där −∞ ≤ a < b ≤ ∞,
• Dg(x) ≠ 0 för alla x ∈ (a, b),
• Df(x) / Dg(x) → A då x → a⁺ (där A är ett ändligt tal eller +∞ eller −∞),

samt att

• g(x) → +∞    eller    g(x) → −∞    eller    f(x) → 0 och g(x) → 0,      då x → a⁺.

Då är slutsatsen att

• f(x) / g(x) → A då x → a⁺.

(Motsvarande gäller förstås även för gränsvärden av typen x → b⁻.) För diskussion av detta, se t.ex. artikeln Counterexamples to L'Hôpital's Rule av R. P. Boas.