Tidigare utblickar

Nedan listas tidigare utblickar i alfabetisk ordning med avseende på utblickare. Det finns under varje titel en kort beskrivning och till de flesta utblickarna även en eller flera referenser till böcker och/eller nätadresser för dem som vill läsa mera. Böcker av allmänt intresse finns samlat i en litteraturlista.

Olle Axling:

Logicism, formalism och intuitionism i matematik.

Matematikens grundvalar: några filosofiska och logiska problemställningar.

Integral- och differentialkalkylens historia.

Ekvationer och algebra.

Induktion och rekursion.

Jana Björn:

Kardinalitet och oändliga mängder.

Jörgen Blomvall:

Ingenjörskonst i finansbranschen.

Brian Edgar:

Searching for a proof of Fermat's Last Theorem.

Gunnar Fogelberg:

Om algebra och ekvationer.

Om vektorer, matriser och determinanter.

Differential- och integralkalkylens utveckling.

Viiveke Fåk:

Kryptisk matematik.

Torkel Glad:

Vad säger egenvärden och egenvektorer om hur Gripen flyger?

Svante Gunnarsson:

Styrning av industrirobotar.

Maud Göthe Lundgren:

Det klassiska handelsresandeproblemet.

Peter Hackman:

Varför bevis?

Att göra matematiken synlig.

Isometrier i låg dimension,

Kurt Hansson:

Funktionsbegreppet i matematiken.

Fourieranalys. En introduktion.

Lars Inge Hedberg:

Något om iterationer och kaos.

Pendlar, lantmäteri och svarta hål; något om differentialgeometriens historia.

Magnus Herbethson:

Introduktion till den speciella relativitetsteorin.

Relativistisk kosmologi.

Keijo Hildén:

Kvaternioner.

Michael Hörnquist:

Proteiner, internet och skådespelare - större likheter än man först anar.

Ingemar Ingemarsson:

Hur man kan använda matematik för att upptäcka och rätta fel?

Linjära avbildningar - mångsidigt användbara matematiska modeller.

Datakompression, musik på Internet och egenvektorer.

Hur man rätar de vanligaste tyrkfelen.

Mats Jirstrand:

MathModelica/Modelica - An Equation Based Tool/Methodology for Modelling and Simulation of Complex Physical Systems.

Magnus Johansson:

Ickelinjär dynamik och kaos - när det förutsägbara blir oförutsägbart.

Thomas Karlsson:

Matematikens roll.

Motexempel i analys.

Satser om värdemängden till kontinuerliga funktioner.

Kurvor på parameterform.

Ekvationer och algebra.

Inger Klein:

Att styra med hjälp av återkoppling.

Hans Knutsson:

Bildbehandling - Konsten att strunta i oväsentligheter.

Timo Koski:

Om inlärningens geometri.

Svante Linusson:

Satsen om stabila äktenskap.

Att dela rättvist.

Att bevisa det omöjliga.

Matematiker, så funkar dom.

Lennart Ljung:

Matematik kring terrängnavigering.

Hans Lundmark:

Visualisering av komplexvärda funktioner..

Peter Münger:

Åska och elektromagnetism.

Mats Neymark:

Derivator och integraler. Något om Analysens historia.

Klas Nordberg:

Matematiska metoder i bildbehandling.

Mikael Olofsson:

Pizzaproblemet och digital felrättning.

Elzbieta Pol:

On the Sierpinski Universal Plane Curve.

Mattias Severin:

Tidsresor, entropi och en gummibandsmotor.

Karin Ståhl Gunnarsson:

Matematik i verkligheten på Saab Aerospace.

Andrzej Trautman:

Elementary approach to the idea of general relativity.

Uno Wennergren:

Räkna med ekologisk odling.

Johan Wästlund:

Kryptologi.

Olle Axling: Logicism, formalism och intuitionism i matematik.

Jag skall utan att förutsätta ingående kunskaper i filosofi eller logik försöka beskriva dessa tre skolor engagerade i matematikens grundvalar. Det är främst filosoferna och matema\-tikerna Bertrand Russell, Kurt Gödel, L.E.J. Brouwer och David Hilbert och deras verk vi skall bekanta oss med.

Huvudreferens: J.van Heijenoort,ed.,"From Frege to Gödel. A sourcebook in mathematical logic". Harvard UP, 1967.
( En guldgruva innehållande originaluppsatser )
E.W. Beth: "The Foundations of Mathematics". Nort-Holland. 1968
(Mycket innehållsrik och lärd)
Bertrand Russell: "Introduction to Mathematical Philosophy". Allen and Unwin.1920.
( Russells populärframställning av logicismen. En nobelpristagare i litteratur skriver. )
Hao Wang:"Reflection on Kurt Gödel".MIT 1987.
( Initierat av en som var med )
Wilder,R.L: Introductions to the founations of mathematics.Wiley 1967.
På hemsidan för kursen TATM 90 Diskret matematik och logik, finns en länk till logik och bl.a. logiklitteratur.

Olle Axling: Integral- och differentialkalkylens historia.

Idemässigt har den matematiska analysen en lång och fängslande historia. Vi gör ett större svep, börjar med areaberäkningar i egyptiska papyrusar , löser extremproblem med Fermat, ser på Newtons samband mellan tangenter och areor och övertar Leibniz notation. Vi avslutar med Cauchys definitioner som nästan ger oss dagens analyskurs.

Olle Axling: Ekvationer och algebra.

På föreläsningen försöker jag visa hur man genom historien löst matematiska problem med geometriska men framför allt algebraiska metoder. Jag gör nedslag på vägen från retorisk via synkoperad till symbolisk algebra. Egyptiska papyrusar och babylonska lertavlor från år -1500, där ekvationer löses, blir startpunkten. Via bland annat renässansens tävlingar i att lösa tredjegradsekvationer kommer vi till Norge och Niels Henrik Abels resultat om femtegradsekvationen. På vägen har vi då fått se hur al-Khwarizmi i Bagdad gett upphov till ord som "algebra" och "algoritm" och hur Fermat och Euler brottats med sina ekvationer.

Litteratur: Katz V., A History of Mathematics. Addison Wesley Longman Publishers B.V. 1998
Gindikin S.G., Tales of Physicists and Mathematicians. Birkhäuser 1988
Crowe M., The history of Vector Analysis. Dover 1985
Newton I., Principia Mathematica. Liber 1986 (en översättning av Charlier)
Se även: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk:80/~history/HistoryTopics.html

Olle Axling: Induktion och rekursion.

Mängden av naturliga tal N har en struktur som möjliggör s.k. induktionsbevis och rekursiva definitioner. Vi ska se flera exempel på sådana och hur man på olika sätt måste formulera sina antaganden. Som exempel tas bland annat Hanois torn, Fibonaccis kaninproblem och någon sorteringsalgoritm.

Jana Björn: Kardinalitet och oändliga mängder.

Vi skall jämföra antalet element i oändliga mängder, definiera vad det betyder att två mängder har lika många element och gå genom begreppen uppräknelig och överuppräknelig mängd. Föreläsningen kommer att innehålla både grundläggande teori (som tidigare ingick i en kurs i Diskret matematik) och exempel med tillämpningar.

Litteratur: A. Björn, B-O. Turesson, Diskret matematik (Kap. 10.), Linköping 2001.

Jörgen Blomvall: Ingenjörskonst i finansbranschen.

Den kunskap som ingår i en civilingenjörsutbildning om hur man kan studera tekniska frågeställningar kan även användas för att studera finansiella frågeställningar. Att anställa personer med teknisk/matematisk examina, s.k. "Rocket scientists", blev populärt på 90-talet och är numera vanligt i finansbranschen. I föreläsningen kommer vi titta närmare på hur matematiska metoder kan användas för att studera finansiella frågeställningar.

Brian Edgar: Searching for a proof of Fermat's Last Theorem.

In 1670 a French mathematician Fermat claimed that there were no solutions (x,y,z), where x,y,z are integers, to the equation xⁿ + yⁿ = zⁿ for n= 3, 4, 5, . . .; and that he could prove this. Over the years many mathematicians have tried unsuccessfully to find a proof, but finally in the last few years, Andrew Wiles has succeeded. This talk will highlight the fascinating historical story, which has as many plots and counterplots as a good detective novel; some of the key mathematical ideas will also be illustrated.

The talk will be heavily based on the book Fermat's Last Theorem, by Simon Singh. The Swedish translation of the book is titled Fermat's Gåta. This book is linked to a BBC television programme whose transcript is at http://www.bbc.co.uk/horizon/fermattran.shtml . It is hoped to show some of the television programme.

Gunnar Fogelberg: Om algebra och ekvationer.

Jag visar hur grekerna med geometriska metoder löste andragradsekvationen och berättar om hur al'Khwarizmi gav upphov till ordet algebra och hur han systematiserade ekvationslösandet. Jag tar även upp det som kallas Europas första originella bidrag till matematikens utveckling efter antiken, nämligen lösandet av tredjegradsekvationen - perspektiv mot problemet med femtegradsekvationen ges också.

Litteratur:
Gindikin S.G., Tales of Physicists and Mathematicians. Birkhäuser 1988
Se även: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk:80/~history/HistoryTopics.html

Gunnar Fogelberg: Om vektorer, matriser och determinanter.

Några nedslag i historien om hur dessa begrepp har tillkommit och utvecklats.

Litteratur:
Crowe M., The history of Vector Analysis. Dover 1985
Newton I., Principia Mathematica. Liber 1986 (en översättning av Charlier)
Se även: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk:80/~history/HistoryTopics.html

Gunnar Fogelberg: Differential- och integralkalkylens utveckling.

Integralkalkylens vagga kan man finna hos Arkimedes. Vi presenterar hans metod att bestämma arean av ett parabelsegment och lyfter fram Eudoxos vars uttömningsmetod låg till grund för Arkimedes' arbete. Efter några nedslag i medeltiden hamnar vi hos Fermat och hans metod att bestämma tangenten till en given kurva. Analysens huvudsats som kommer med Newton och Leibniz markerar sedan differentialkalkylens födelse. Via Euler och Lagrange erbjuder vi också ett perspektiv mot moderna tider.

Litteratur:
Edwards C., The historical development of the calculus. Springer-Verlag 1980.
Katz V., A History of Mathematics. Addison Wesley Longman Publishers B.V. 1998
Se även: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk:80/~history/HistoryTopics.html

Viiveke Fåk: Kryptisk matematik.

Kryptering, en grundläggande komponent i säkerheten för dagens informationssamhälle, är i grunden en ren tillämpning av olika typer av matematik. I föreläsningen beskrivs hur statistik används vid kryptoknäckning och hur diskret algebra utnyttjas till att skapa förfalskningssäkra digitala dokument.

Förslag på vidareläsning:
Översiktligt: Relevanta kapitel i grundläggande datasäkerhetsböcker som "Säkerhetsarkitekturer" utgiven av SIG-Security eller "Computer Security" av Dieter Gollman.
Detaljerat och omfattande: Scneier: "Applied Security" Stallings: "Cryptography and network security."
En bra site bland många är Schneiers egen http://www.counterpane.com

Torkel Glad: Vad säger egenvärden och egenvektorer om hur Gripen flyger?

Dynamiska system, t ex flygplan beskrivs av differentialekvationer. I idealiserade fall är dessa linjära och differentialekvationernas koefficienter kan "packeteras" i matriser. Det visar sig att egenvärdena och egenvektorerna till dessa matriser ger en god bild av beteendet. Detta är speciellt intressant om man inte är nöjd med beteendet utan vill förbättra det med ett styrsystem. Detta är i hög grad aktuellt för flygplan och numera bilar, men också för elektroniken i CD-spelare, mobiltelefoner och andra apparater. Ofta kan man se inverkan av ett styrsystem som att det flyttar egenvärden till önskade positioner i det komplexa talplanet. Detta ger systematiska metoder att konstruera sådana system.

Svante Gunnarsson: Styrning av industrirobotar

Prestandakraven beträffande t ex hastighet och precision hos moderna industrirobotar ökas ständigt. För att möta dessa krav är det nödvändigt att ha bra matematiska modeller av roboten och att ständigt förbättra metoderna för att styra roboten. I detta föredrag ges en översikt över metoder för modellering och styrning av industrirobotar.

Maud Göthe Lundgren: Det klassiska handelsresandeproblemet och några av dess släktingar.

En av de mest uppmärksammade problemställningarna inom optimeringslära är det klassiska handelsresandeproblemet (traveling salesperson problem). Populärt kan det beskrivas som problemet att bestämma vilken tur/rutt en handelsresande ska välja för att på billigast möjliga sätt besöka ett antal städer.

Inom flera tillämpningsområden för optimeringslära uppkommer problem som är besläktade med handelsresandeproblemet, så kallade subtursproblem.
Här ska handelsresanden inte nödvändigtvis besöka alla städer, utan istället välja vilka som ska besökas samt vilken tur som ska användas. Valet baseras på en avvägning mellan intäkter längs turen och transportkostnader.

På föreläsningen kommer jag berätta om några av dessa optimeringsproblem samt ge principer för hur de matematiskt kan modelleras och lösas. Dessutom visar jag några exempel på deras tillämpningar.

Peter Hackman: Varför bevis?

Ur den professionelle matematikerns synvinkel är svaret delvis trivialt. Han lagar sina satser genom att bevisa dem. Men det stannar inte därvid. Nästan inget originalbevis har överlevt. Nya tillämpningar och därav betingade nya begrepp ställer det gamla i ny dager. Vår förståelse vidgas och satser får nya, mer klargörande bevis. För en del satser gäller att inget bevis är det perfekta. Alla bevisen ihop är bättre än något enda; varje enskilt bevis ger förståelse ur en snäv synvinkel. Jag tänker belysa allt detta till större delen med elementarmatematikens viktigaste, och kanske mest bevisade sats, Pythagoras. Jag hoppas klargöra att studiet och jämförelser av bevis berikar förståelsen. Frågan ``varför?'' gäller inte bara matematikern. Det finns skäl att vi undervisar bevis och att teknologer bör befatta sig med dem.

"Rigor is to the mathematician what morality is to man." André Weil (1906--1998)

Peter Hackman: Att göra matematiken synlig.

Jag föreläste förra året under rubriken ``Varför bevis?'' Men föredraget handlade egentligen mer om vad vi begär av bevisen. Vi vill lite mer än att fastställa satsers giltighet. Åtminstone jag vill förstå (svårdefinierat!) och *se*. Se hur resultaten ser ut, se varför de är sanna, se mönster och sammanhang, de få ideerna istället för myllret av fakta. En av mina käpphästar är geometrins viktigaste och mest bevisade sats, Pythagoras. Ä nnu en är de trigonometriska derivatorna. Efter 39 år har jag så smått börjat förstå dem. Jag hoppas dela med mig av min förståelse.

Peter Hackman: Isometrier i låg dimension.

Isometrier, avståndsbevarande avbildningar, i godtycklig dimension är viktiga i vissa minsta-kvadrat\-algoritmer och vid studiet av svängningssystem. (Avstånd mellan vänster och höger led, resp. systemets totalenergi bevaras.) Speciellt i det förra fallet är det värdefullt att ha någon känsla för isometrier i låg dimension, ett moment som inte riktigt får plats i kursen i lineär algebra idag.
En (lineär) isometri bevarar defintionsmässigt längder, men (Andersson 9.5.) även skalärprodukter och därmed ON-baser. Med hjälp av detta senare faktum kan vi mycket åskådligt visa att en tredimensionell isometri är sammansatt av högst tre speglingar. Är avbildningens determinant positiv (+1 enda möjligheten) måste antal speglingar vara noll eller två. Det första fallet är trivialt. Det andra fallet kan (fortfarande åskådligt) visas vara en vridning.
Jag avslutar troligen med att ge ett enkelt exempel på bestämningen av vridningsaxel och vinkel.
Det finns MYCKET mer att säga om isometrier i tre dimensioner. Den intresserade (speciellt den som är nyfiken på tillämpningar i mekanik) kan konsultera Underhållning F.V. i min fria bok Kossan.
Förkunskaper: matrisframställning, determinant och sekularpolynom samma i alla baser. Föreläsningen ges i anslutning till YDC-kursen och använder exempelsamlingens matrisbeteckningar.

Kurt Hansson: Funktionsbegreppet i matematiken.

Trots utvecklingen av differential- och integralkalkylen under 1600-talet var funktionsbegreppet inte ett viktigt begrepp. Det var först under 1700-talet som funktionsbegreppet blev centralt. En tidig definition såg ut på följande sätt (Euler): A function of a variable quantity is an analytic expression composed in any way whatsoever of the variable quantity and numbers or constant quantities.
Föredraget handlar om funktionsbegreppets utveckling och dess betydelse i matematiken från tidigt 1700-tal och framåt. Utblicken finns i sin helhet i pdf-format: funktion.pdf

Kurt Hansson: Fourieranalys. En introduktion.

Om du undrar varför ni läser så konstiga saker i lineär algebra får du en del av svaret här. Vad är t.ex. alla dessa dimensioner bra för? Behöver man verkligen flera tusen? Hittills har det ju nästan alltid räckt med tre. Och basbyten. Är det något som riktiga ingenjörer skall hålla på med? Jag skall försöka övertyga er om nyttan av de nöjen som den lineära algebran har bjudit er på hela förra hösten. Föredraget kan också ses som en reklamsnutt till den nya kursen i fourieranalys som i varje fall Y-arna läser i årskurs 3. Utblicken finns i sin helhet i pdf-format: Fourieranalys.pdf

För den som vill fördjupa sig i ämnet finns rikligt med referenser i C. H. Edvards, Jr. The Historical Development of the Calculus. Springer 1979 och A. P. Youschkevitch. The Concept of Function up to the Middle of the 19^{th} Century. Arch. Hist. Exact Sci. 16, 37-85, 1976.

Lars Inge Hedberg: Något om iterationer och kaos.

Begreppen kaos och kaosforskning har tilldragit sig stort intresse på senare år. Jag skall tala om hur till synes enkla avbildningar kan uppvisa kaotiskt beteende då de itereras, dvs upprepas, många gånger.

Michael Benedicks, "Periodfördubbling till kaos", Normat 31:4 (1983), 160 - 173.
(En ganska elementär översiktsartikel, som också innehåller en del referenser för vidare läsning.)
Robert L. Devaney, "An introduction to chaotic dynamical systems" (2nd edition), Addison-Wesley, 1989.
(En bra lärobok i ämnet. Devaney har även gjort en video, "Transition to chaos. The orbit diagram and the Mandelbrot set", som finns att låna på biblioteket.)
H.-O. Peitgen, H. Jürgens, D. Saupe, "Chaos and fractals. New frontiers of science", Springer 1992.
(Innehåller bland mycket annat fantastiska bilder av Mandelbrotmängden och andra fraktaler)

Lars Inge Hedberg: Pendlar, lantmäteri och svarta hål; något om differentialgeometriens historia.

Jag kommer att illustrera sambandet mellan ren och tillämpad matematik genom att följa krökningsbegreppets utveckling från differentialkalkylens uppkomst på sextonhundratalet via Euler, Gauss och Riemann till våra dagars teorier för krökta rumtider och svarta hål.

Litteratur:
M. Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, Oxford University Press, 1972.
R. Penrose, The Geometry of the Universe. I Mathematics Today: Twelve Informal Essays (Edited by L. A. Steen), pp. 83--125, Springer-Verlag, 1978.
M. Spivak, A Comprehensive Introduction to Differential Geometry I--V, Publish or Perish, Inc., Berkeley, 1979. (Av verkets fem delar är de senare ganska avancerade. Del II är till stor del historisk och innehåller bl a en översättning av Riemanns föreläsning.)

Magnus Herbethson: Introduktion till den speciella relativitetsteorin.

Einsteins speciella relativitetsteori från 1905 är ett specialfall av den allmänna relativitetsteorin (1916) på så sätt att man bortser från rummets krökning. I och med det kan universum beskrivas med hjälp av ett vektorrum, det så kallade Minkowskirummet. Vi skall se hur det enda antagandet att ljushastigheten, c, är densamma för alla observatörer leder till begrepp som längdkontraktion och tidsdilatation.

Einstein, A., "Relativity, the Special and General Theory". (1920, Uviversity Paperback, ISBN 0-416-67600-6)
En liten och trevlig bok, utan tyngande matematik.
D'Inverno, R. "Introducing Einstein's Relatyvity". (1992, Oxford University Press, ISBN 0-19-859686-3)
En ordentlig men inte alltför avancerad lärobok i ämnet.
Wald, R. "General Relativity". (1984, University of Chicago Press, ISBN 0-226-87033-2)
En mer avancerad lärobok.

Magnus Herberthson: Relativistisk kosmologi.

Frågan om universums ursprung och dess öde har alltid fascinerat mäniskan. I detta seminarium visas vad Einsteins relativitetsteori har att säga därvidlag. Utgående från en enkel modell för vår omvärld samt Einsteins fältekvationer skall vi se hur vi kan förutsäga universums expansion, fenomenet rödförskjutning samt Big Bang.

Berry, M. (1976) Principles of cosmology and gravitation. (Cambrigde university press.)
Weinberg, S. (1993) The first three minutes. (Flamingo.)

Keijo Hildén: Kvaternioner.

Kvaternionerna är en utvidgning av de komplexa talen som upptäcktes av R.W.Hamilton under början av 1800-talet. Talen är av formen $a+bi+cj+dk$ där i,j,k är tre imaginära enheter och a,b,c,d är reella tal. För de tre imaginära enheterna gäller de fundamentala formlerna i²=j²=k²=ijk=-1. Kvaternionerna ger en effektiv metod att beskriva vridningar och speglingar och används idag bl a inom robotteknik, datorgrafik. Anförandet kommer att ge en kort introduktion till den bakomliggande matematiken samt några geometriska illustrationer. Utblicken finns i sin helhet i pdf-format: Kvaternioner.pdf

Michael Hörnquist: Proteiner, internet och skådespelare - större likheter än man först anar.

Är 1999 visade en forskargrupp i USA att flera till synes helt olika nätverk har en hel del gemensamt. Lite förenklat kan vi säga att de visades ha ett ej försumbart antal noder med väldigt många anslutningar, medan de allra flesta noder endast hade några få länkar. Till skillnad från tidigare studerade nätverksmodeller fanns det ingen given skala - de var s.k. skalfria. Detta visar sig påverka mycket vitala egenskaper som stabilitet och avstånd inom nätverket. Alltsedan dess är detta ett mycket aktivt forskningsområde, och nya resultat presenteras närmast dagligen. Här skall vi visa på likheter för en mängd olika nätverk, och presentera en mekanism som i viss mening kan förklara hur detta fenomen kan uppkomma.

Förslag på referenser:
"Linked, The New Science of Networks", A.-L. Barabasi, Perseus Publishing, Cambridge MA, 2002. Mycket populär och lättläst introduktion till ämnet, helt utan matematik (tyvärr).
"Statistical mechanics of complex networks", R. Albert and A.-L. Barabasi, Reviews of Modern Pysics, vol. 74, pp. 47-97 (2002). God sammanfattning av utvecklingen t.o.m. 2001, kräver dock lite mer av läsaren (diskret matematik skadar inte att ha med sig).

Ingemar Ingemarsson: Hur man kan använda matematik för att upptäcka och rätta fel?

All kommunikation riskerar att utsättas för störningar. Fram till ungefär 50 år sedan ansåg man att detta var något vi var tvingade att leva med. Blev det fel så blev det också missförstånd. Runt 1950 uppträdde emellertid Claude Shannon, Richard Hamming, David Slepian och andra som visade att med en elegant användning av algebra så kan man under vissa omständigheter helt eller delvis eliminera effekterna av störningarna. Hur kan det gå till? Kom och lyssna!

Nybörjarbok i kodningsteori:
Peter Sweeney: Error Control Coding, Prentice Hall 1991, ISBN 0-13-284118-5 bunden eller 0-13-284126-6 häftad.

Ingemar Ingemarsson: Linjära avbildningar - mångsidigt användbara matematiska modeller.

Människan älskar att beskriva världen i form av linjära matematiska modeller. Både för att det ger enkla beskrivningar och för att modellerna är mångsidigt användbara. (Det gäller dock att se upp med begränsningarna: jordytan kan lokalt beskrivas med en plan karta, men se upp innan du ramlar över kanten!) Föreläsningen kommer att ta upp flera exempel, med en lite närmare beskrivning av de linjära avbildningar som användes i färg-TV.

Färg-TV

I televisionen barndom återgav TV bara en svart-vit gråskala. När färg-TV skulle introduceras stod dåtidens ingenjörer inför ett formidabelt problem: sänd färg-TV i det gamla TV-nätet och på ett sådant sätt att de som redan har en mottagare för svart-vit TV kan fortsätta att använda den! Detta problem måste ha tett sig nästan olösligt, men löstes på ett elegant sätt med hjälp av linjära avbildningar. Än i dag sitter det i varje TV-apparat elektroniska kretsar som utför skalär multiplikation och som gör det möjligt att se färgbilder av hyfsad kvalitÈ.

Vill du läsa populärt om TV och annat så titta gärna på: http://www.howstuffworks.com Lite närmare beskrivning av färg-TV (NTSC-systemet) hittar du på: http://www3.ncsu.edu/ECE480/480_tvc.htm Den sista referensen är en del av följande sajt, som innehåller en hel del populärt beskriven teknik: http://www3.ncsu.edu/ECE480/480_1.htm

Ingemar Ingemarsson: Datakompression, musik på Internet och egenvektorer.

Rubrikens tre fenomen kan synas olika. Ändå hänger de nära samman. Vi är vana att lyssna till musik lagrad på CD-skivor. Du har kanske hört att en CD rymmer en väldig mängd data. Den stora mängden är en av orsakerna till att musiken från en CD-skiva låter så bra. Men hur kan man då ladda ner musik från Internet som låter (nästan) lika bra? Innan vi alla har välsignats med Bredband så vet vi ju att det tar lång tid att skicka stora datamängder. Lösningen heter datakompression och har fått namn som Mpeg och liknande. Ett sätt att göra datakompression är att använda egenvektorer och egenvärden. Med en effektiv användning av dessa matematiska begrepp kan vi komprimera data från ljud och bilder till en bråkdel av vad vi använder på CD-skivor.

Låter det spännande? Kom och lyssna på en matematisk utblick!

Ingemar Ingemarsson: Hur man rätar de vanligaste tyrkfelen.

Richard Hamming, ingenjör p&arinf; dåvarande Bell laboratories, konstruerade och publicerade 1950 ett sätt att upptäcka och rätta de vanligaste felen vid överföring av binära data. Det var en genial uppfinning , men han såg inte då att han hade skapat ett vektorrum med tillhörande underrum. Denna upptäckt ledde så småningom till kodningstekniken som i dag gör det möjligt att lyssna på CD-skivor och kommunicera via satelliter.

Hammingrummet finns beskrivet i alla vanliga läroböcker i Kodningsteori, exempelvis i:

[1] Stephen Wicker, Error control systems, Prentice Hall 1995
[2] Henk van Tilborg, Error-correcting codes, Studentlitteratur 1993 [3] Lin-Costello, Error Control Coding - Fundamentals and applications, Prentice Hall 1983

En av många sites som ger en introduktion (med ett foto av Richard Hamming!) är:
http://www.cs.mcgill.ca/~smroso/hamming.html

Mats Jirstrand: MathModelica/Modelica - An Equation Based Tool/Methodology for Modelling and Simulation of Complex Physical Systems.

In this talk we will give a brief overview of the Modelica language and the MathModelica modeling and simulation environment. Modelica is an object oriented, declarative, multi-domain modelling language for complex physical systems developed by an international group of researchers both from academia and commercial companies. The term multi-domain refers to systems containing a mixture of subcomponents such as mechanical, electrical, hydraulic, thermal, control, electric power and process-oriented. In Modelica the user works directly with the components (not input/output blocks) of a design and connect them together in the same way as they are connected in the real system. Each component (ready-made from a library or user-defined) is described by one or several differential and algebraic equations and the interfaces to other components, i.e., what type of equations that have to be generated when components are connected with each other. An intermediate result of the modelling process is an often very large system of differential algebraic equations (DAE), 1000-100000 equations, which can be compiled and linked to solvers for efficient simulation. The ability of designing a declarative modelling language as Modelica has been enabled by novel research results combining numeric and symbolic algorithms, which give very efficient simulation code.

Magnus Johansson: Ickelinjär dynamik och kaos - när det förutsägbara blir oförutsägbart.

I grundläggande matematik-kurser har ni lärt er mycket om linjära avbildningar och linjära differentialekvationer. Denna kunskap är mycket viktig för tillämpningar inom de flesta områden. Men en av de kanske mest spektakulära vetenskapliga upptäckterna under slutet på 1900-talet var, att egenskaper hos många system är fundamentalt icke-linjära och inte kan beskrivas med linjära ekvationer. Även system som beskrivs av mycket enkla icke-linjära matematiska modeller kan uppvisa en tidsutveckling (dynamik) som är mycket komplicerad och i praktiken oförutsägbar över längre tid. Detta fenomen kallas '(deterministiskt) kaos'. I denna utblick ska vi dels visa hur man kan ge en matematisk definition av kaos, och dels exemplifiera kaotisk dynamik i enkla matematiska modeller, med tillämpningar inom fysik, meteorologi, biologi, kemi, elektroteknik och/eller ekonomi.

Litteraturtips: Det finns ett nästan oändligt antal böcker om kaos, från rent populära till mycket avancerade. Jag ger 3 tips, som ger goda introduktioner innehållande både nödvändig matematik, många tillämpningar och referenser till andra böcker.
1) S.H. Strogatz, Nonlinear Dynamics and Chaos (Addison-Wesley, 1994)
2) F.C. Moon, Chaotic and Fractal Dynamics (John Wiley \& Sons, 1992)
3) G. OhlŽn, S. Äberg, Kaos inom naturvetenskap och teknik (kompendium, Lund, 1999)

Web-tips: Också här finns nästan oändligt mycket (pröva att söka på 'chaos nonlinear' med någon sökmotor!). En sida som innehåller en hel del (i synnerhet mycket länkar till andra sidor) är 'The Chaos Hypertextbook', http://hypertextbook.com/chaos/

Thomas Karlsson: Matematikens roll.

Jag kommer att prata om matematikens roll i utbildningen och hur det matematiska språket används för att modellera (beskriva) såväl enkla som komplicerade förlopp i verkligheten. Jag kommer också att beskriva hur man kan generera spännande bilder genom att iterera s.k. affina avbildningar. En trevlig referens här är

Barnsley M., Fractals everywhere. Academic press 1988.

Thomas Karlsson: Motexempel i analys.

Första timmen diskuteras begreppet kardinalitet. Kardinaltalet för en ändlig mängd är antalet element i mängden. Två mängder (ändliga eller oändliga) har samma kardinalitet (mäktighet) om det finns en en-entydig motsvarighet (bijektion) mellan elementen i den ena mängden och elementen i den andra mängden. De naturliga talen säges vara numrerbara. Har de rationella talen samma kardinalitet som de naturliga, dvs är de rationella talen numrerbara? Har de reella talen samma kardinaltalet som de naturliga talen?
Andra timmen tittar vi på exempel på funktioner som "strider mot" intiutionen. Exempelvis frågar vi oss om det finns funktioner som är kontinerliga överallt men ingenstans deriverbara.

Björn A. Turesson B. O., Diskret matematik. Matematiska institutionen, Linköpings universitet 1999
Wilder R., Introduction to The Foundations of Mathematics. Wiley 1965 (den finns inte i vårt bibliotek men den går att få tag på via fjärrlån)
Gelbaum, B. Olmsted, John M., Counterexamples in analysis. Mathesis series 1964

Thomas Karlsson: Satser om värdemängden till kontinuerliga funktioner.

I grundkursen i analys har du redan stött på begreppet kontinuitet. Jag tänker ta upp den tråden och prata om kontinuerliga funktioner och deras egenskaper (se Appendix C) samt illustrera med ett eller annat exempel ur levande livet. (Är det möjligt att med ett snitt dela en smörgås med två pålägg rättvist?)

Persson A. Böiers L-C., Analys i en variabel. Studentlitteratur 1990
Mendelson B., Introduction to Topology. Boston 1975 (den finns inte i vårt bibliotek men den går att få tag på via fjärrlån)

Thomas Karlsson: Kurvor på parameterform.

Utblicken handlar om kurvor på parameterform och tar upp begrepp som tangent och båglängd. Detta är en del av kursen Analys A. Man förbereder sig lämpligen genom att studera avsnittet 7.4 i läroboken.
På utblicken diskuteras också begreppet krökning. Det står något om detta i avsnitt 7.6 i läroboken.

Thomas Karlsson: Ekvationer och algebra.

På föreläsningen visas hur grekerna med geometriska metoder löste andragradsekvationen och hur al'Khwarizmi gav upphov till ordet algebra samt systematiserade ekvationslösandet. Även det som kallas Europas första originella bidrag till matematikens utveckling efter antiken - tredjegradsekvationens lösning - behandlas under föreläsningen.

Litteratur:
Katz V., A History of Mathematics. Addison Wesley Longman Publishers B.V. 1998
Gindikin S.G., Tales of Physicists and Mathematicians. Birkhäuser 1988
Crowe M., The history of Vector Analysis. Dover 1985
Newton I., Principia Mathematica. Liber 1986 (en översättning av Charlier)
Se även:
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk:80/~history/HistoryTopics.html

Inger Klein: Att styra med hjälp av återkoppling.

Många dynamiska system kan beskrivas med differentialekvationer. I ett dynamiskt system påverkas systemets nuläge av både nuvarande och tidigare insignaler. För att kunna fatta beslut om hur nuvarande och framtida insignaler ska se ut mäter man på systemet, och baserar styringreppen på dessa mätningar. Detta kallas för återkoppling. För system som beskrivs av linjära differentialekvationer kan man räkna fram hur denna återkoppling bör se ut. Avancerade styrsystem finns i tekniska system som t.ex. flygplan och pappersmaskiner, men numera finns styrsystem även i många vardagsnära system som t.ex. CD-spelare, bilar och mobiltelefoner.

Hans Knutsson: Bildbehandling - Konsten att strunta i oväsentligheter.

Informationsrepresentation - Tensorer Analys av osäkra data - Normaliserad faltning Enkla samband i högdimensionella rum - Kanonisk korrelation \smallskip Gruppens hemsida http://www.ami.imt.liu.se/index.html Guldmusvinnarprojektet http://www.ami.imt.liu.se/Research/fMRI/ Morfologisk Angiografi http://www.ami.imt.liu.se/Research/Angiography/ Analys av Ultraljudsbilder http://www.ami.imt.liu.se/Research/Ultrasound/ Att hitta enkla samband i högdimensionella rum http://www.ami.imt.liu.se/Research/LSRiHDSS/

Timo Koski: Om inlärningens geometri.

En grundläggande form av inlärning är att inhämta kunskap ur valda exempel. Med ett exempel avses information om ett föremål och en klassificering av detsamma. Det kan handla om t.ex. handskrivna siffor. Förmågan att igenkänna handskrivna siffror är på något sätt inbyggd i den mänskliga hjärnan, förutsatt förtrogenhet med siffrorna. En dator behöver emellertid tydliga regler för hur den skall kunna utöva igenkänningens konst. Detta föredrag presenterar en euklidisk geometrisk modell för inlärning. Denna matematiska modell utgör grunden för många av dagens bästa högteknologiska verktyg för igenkänning med datorns hjälp.

Svante Linusson: Satsen om stabila äktenskap.

Jag kommer att prata om den matematiska satsen om stabila äktenskap. Frågan är om det givet ett visst antal unga män och kvinnor, går att para ihop dem så att det blir stabilt i den bemärkelsen att inga skiljer sig med en gång. Av den enkla matematiska lösningen finns mycket att lära även om hur man själv optimerar sin strategi på äktenskapsmarknaden. Metoden används i praktiken på flera håll i världen, t.ex. då man i USA matchar ihop läkarstuderande med praktikplatser på sjukhus.

Svante Linusson: Att dela rättvist.

En Mozartkula består av choklad, marsipan och nougat. Om två barn ska dela på den sista kulan i asken, kan de skära ett snitt så att halvorna har lika mycket choklad, lika mycket marsipan och lika mycket nougat?

En vanlig metod i praktiken att dela rättvist är med algoritmen "Du delar, jag väljer". Den tar ju dessutom hänsyn till att vi alla har olika preferenser. Om tre barn ska dela på kulan, hur kan man då dela så att alla känner sig rättvist behandlade?

Litteraturhänvisningar:
Allmänt: Brams and Taylor, Fair Division: from cake-cutting to Dispute Resolution, Cambridge University Press, 1996.
Svårare: Su, Francis, Rental Harmony: Sperner's Lemma in Fair Division, American Mathematical Monthly, December 1999, pp. 930-942.

Svante Linusson: Att bevisa det omöjliga.

När en matematiker säger att något är omöjligt så menar hon/han just att det är omöjligt och inte bara att det är väldigt svårt, vilket många andra människor tycks mena då de använder ordet. En matematiker med självaktning säger förstås inte att något är omöjligt om det inte finns ett vattenttätt bevis för det. Men hur bevisar man då att något är omöjligt?
Det är det som jag kommer att prata om. Jag kommer att ge flera olika exempel på hur man kan visa att något är omöjligt. Mitt huvudexempel är spelet solitär där man genom att hoppa kula skall få bort alla kulor utom en. Trots att man kan hitta det här spelet i snart sagt varje spelbutik så är det ett spel som saknar lösning. Det är omöjligt.

Svante Linusson: Matematiker, så funkar dom.

Sammanfattning: Hur tänker egentligen en matematiker? Tänker hon/han som det står i böckerna? Nej är nog svaret. Att jobba med matematik är för mig att leta efter mönster och se nya samband. Tänkandet på matematik kan ofta delas in i fyra steg:

Leta efter mönster.
Gissa ett mönster.
Bekräfta mönstret.
Bevisa mönstret.

Alltför ofta så beskriver vi bara det sista i våra föreläsningar och hoppar av tidsskäl över de tre första stegen. Jag kommer att ge ett antal olika exempel på hur man som matematiker tänker och vad som sker "bakom ridån" innan det blir till matematiska satser i böckerna.

Lennart Ljung: Matematik kring terrängnavigering.

Vid flygplansnavigering är kraven på tillförlitlighet och säkerhet mycket höga. Betydelsen av korrekt information om position och hastighet är avgörande vid flygning på låg höjd och speciellt under landningsfasen. I utblicken diskuteras bl.a. den matematik som används vid den här typen av navigering.

N. Bergman, L. Ljung, F. Gustafsson, Terrain Navigation using Bayesian Statistics, IEEE Control Systems Magazine, Vol 19, pp 33-40, 1999.

Peter Münger: Åska och elektromagnetism.

Åska är ett meteorologiskt fenomen som ger upphov till många effekter som kan beskrivas och analyseras med hjälp av elektromagnetism. Utifrån de två frågorna: "Hur stor energi finns det i ett åskmoln?" och "Varför ska man inte stå under ett träd när åskan går?" ska vi introducera ett antal grundläggande elektromagnetiska begrepp och samband.

Hans Lundmark: Visualisering av komplexvärda funktioner.

http://www.mai.liu.se/\~{}halun/complex/

Det vanliga sättet att visualisera en funktion $y=f(x)$, där $x$ och $y$ är reella variabler, är att rita dess graf. Men om man har en funktion där variablerna är komplexa, säg $w=f(z)$, så får man problem. Man skulle ju behöva ett fyrdimensionellt koordinatsystem för att kunna rita grafen direkt; två axlar för $z$ (realdel och imaginärdel) och två för $w$. Jag ska berätta om några sätt att visualisera sådana funktioner, speciellt en metod som kallas \emph{domain coloring} (färgläggning av definitionsmängden). Den ger upphov till färgbilder som inte bara är vackra utan dessutom avslöjar intressanta matematiska fenomen som man inte ser när man inskränker sig till reella variabler. Redan så enkla funktioner som polynom bjuder på överraskningar, och vi ska även titta på andra elementära funktioner, till exempel $w=e^z$ och $w=\sin z$.

Mats Neymark: Derivator och integraler. Något om Analysens historia.

Man läser och hör ibland att det som vi i dag kallar (Matematisk) Analys började med Newton och Leibniz i slutet av 1600-talet. Det är nog sant genom att det var de som först på ett systematiskt sätt behandlade de samband, som nu uttrycks som samband mellan derivator och integraler i Analysens huvudsats, och använde detta för att räkna ut areor, volymer m m. Fast de uttryckte sambanden med andra beteckningar eftersom t ex begreppet derivata infördes först i slutet av 1700-talet (av Lagrange). Newtons och Leibniz beteckningar och sätt att beskriva sambanden var också sinsemellan mycket olika.

Men det är inte sant att Newton eller Leibniz kom fram till sina teorier helt självständigt. Problem att bestämma tangenter till en kurva samt area, volym, tyngdpunkt m m hade studerats redan under antiken framför allt av Arkimedes och sedan bl a av flera matematiker i Europa under 1500- och 1600-talet. Men man använde då speciella metoder för varje problem. Både Newton och Leibniz fick impulser från det som hade gjorts tidigare. Det nya i deras arbete låg i att de kunde uttrycka de allmänna sambanden och beskriva allmänna metoder för att lösa sådana problem. Men de tycks ha kommit fram till sina idéer helt oberoende av varandra.

Efter Newton och Leibniz fortsatte andra matematiker att använda och utveckla deras idéer men utan att bekymra sig så mycket om den teoretiska grunden för metoderna. Det var egentligen först under 1800-talet som man började utveckla en strikt matematisk teori för Analys.

Föreläsningen skall handla om några bidrag till utvecklingen av Analys före Newton och Leibniz, något om Newtons och Leibniz idéer och något om utvecklingen senare under 1700-talet och början av 1800-talet genom arbeten bl a av Euler, Lagrange och Cauchy.

Boris Sjöberg, Från Euklides till Hilbert. Historien om matematikens utveckling under tvåtusen år, Åbo akademis förlag 1998.
C H Edwards, Jr, The Historical Development of the Calculus, Springer--Verlag 1979.
Margaret E Baron,The Origins of the Infinitesimal Calculus, Dover New~York 1969.
Carl B Boyer, The History of the Calculus and its Conceptual Development, Dover New~York 1959.
Morris Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, Oxford University Press 1990 (1972).
D J Struik, A Source Book in Matthematics 1200-1800, Princeton University Press 1986 (1968).
Florian Cajori, A History of Mathematical Notations, Dover New York 1993 (1929).

Mikael Olofsson: Pizzaproblemet och digital felrättning.

Snart sagt all telekommunikation idag är åtminstone delvis digital. Vid all kommunikation förekommer slumpmässiga störningar som vid digital kommunikation kan ge upphov till fel, dvs en sänd symbol kan tas emot som en annan. Ett vanligt sätt att tackla detta problem är att använda felrättande eller felupptäckande koder för att minska felsannolikheten till en acceptabel nivå. Sådana koder används t.ex. i modern mobiltelefoni som GSM och 3G, i digital radio och TV, i olika ADSL-tekniker, vid satellitkommunikation, mm, mm. Utan felrättande koder skulle dessa tekniker absolut inte vara lika framgångsrika som de nu är. Vid denna föreläsning inför vi en enkel kanalmodell och studerar några enkla felrättande koder.

Pizzaproblemet handlar om en slarvig pizzabagare med en förlåtande kundkrets. Frågan är hur många pizzor han kan ha på sin menu utan att kunderna klagar. Detta problem kan faktiskt lösas med hjälp av felrättande koder. En mer utförlig formulering av problemet ges på föreläsningen.

Referenser: Christian Schlegel: Error Control Coding,
http://www.ece.ualberta.ca/~hcdc/ErrorContrCoding.html

Elzbieta Pol: On The Sierpinski Plane Curve.

This talk will deal with

1) definitions and pictures of the Sierpinski carpet S, the Sierpinski Triangular curve T and the Lefschetz Curve S²₁

2) properties of S (being a line for instance)

3) universality for plane curves (what this means will be explained during the talk)

4) the existence of a continuous mapping of the unit interval onto S.

Mattias Severin: Tidsresor, entropi och en gummibandsmotor.

Genom rummets tre dimensioner kan man färdas i godtycklig riktning men i tiden kan man bara färdas framåt. En plats i rummet som man fäst sig vid kan man återse - men bara vid en senare tidpunkt. Flydda tider är för alltid borta. Sådana är vår vardagliga erfarenheter av tiden och rummet. Tid och rum har helt enkelt olika egenskaper. Stor sak i det.

Stor sak! Ty enligt de grundläggande fysikaliska lagarna finns det ingen skillnad på framåt och bakåt i tiden. Om kvantfysikens lagar tillåter process i en viss tidsriktning, är den motsatta riktningen också tillåten. En sockermolekyl kan lämna de andra sockermolekylerna i sockerbiten och vandra ut i det varma kaffet, men det motsatta förloppet är lika tillåtet! Samma sak gäller för Newtons lagar och Einsteins relativitetsteori. Ändå händer det aldrig att sockret i en sked strösocker som tillsätts en kopp varmt kaffe samlar ihop sig till en sockerbit och lägger sig prydligt på botten.

Alltså: Hur kan det finnas en tidspil för makroskopiska föremål om föremålens minsta beståndsdelar inte skiljer på framåt och bakåt i tiden?

Karin Ståhl-Gunnarsson: Matematik i verkligheten på Saab Aerospace.

Karin Ståhl-Gunnarsson har gått Y-programmet och arbetar sedan några år på SAAB AEROSPACE AB med bl. a. styrsystem.

Ni får genom föredraget en inblick i de arbetsupppgifter man kan ha som färdig civilingenjör och vilken matematik man kan stöta på.

Andrzej Trautman: Elementary approach to the idea of general relativity.

The full Einstein theory of general relativity is rather complicated and requires some knowledge of Riemannian geometry. There are, however, several essential aspects of that theory that can be described and understood using only Newtonian gravitation and rudiments of special relativity and quantum mechanics. In the lecture, the Newtonian aspect of general invariance will be derived from the equality of inertial and gravitational masses and applied to Newtonian cosmology. It will be shown how the law of propagation of photons in a gravitational field implies the curvature of space-time. Uniformly accelerated motion in special relativity leads to the idea of a horizon, an essential aspect of black holes predicted by Einstein's theory. It will be explained why gravitational radiation is so weak and has escaped, so far, all attempts at detection.

Uno Wennergren: Räkna med ekologisk odling.

I jordbruket försöker man optimera sin skörd genom att reglera förutsättningar för de grödor man odlar. Inom ekologisk odling har man tagit bort en del av de traditionella metoderna för denna reglering, dvs konstgödsel och bekämpningsmedel. En ekologisk odlare är därför hänvisad till andra metoder för att optimera sin skörd. Med hjälp av matematiska modeller försöker man idag finna metoder att minska förekomsten av skadegörande insekter o dyl i grödan. Detta problem består av ett antal komponenter, t ex hur påverkas populationstillväxten hos skadegöraren av den yttre variationen i sådant som temperatur, fuktighet, vind mm? Hur påverkas förekomsten av naturliga fiender till skadegörarna av intill liggande habitat? Hur kan man använda snälla bekämpningsmedel som bryts ner snabbt men är mindre effektiva? Den här typen av problem kan formuleras matematiskt med hjälp av modeller som beskriver ovanstående processer. Modellerna kan formuleras som differentialekvationer och därefter löses de analytiskt eller numeriskt. De kan också förenklas till diskreta modeller och därefter kan man använda linjär algebra. Har man formulerat de som diskreta modeller finns det också ett antal analytiska metoder att använda om man vill hitta former för att optimera förutsättningarna för en ekologisk odlare.

Johan Wästlund: Kryptologi.

ÅKryptologi var länge en vetenskap som bedrevs i hemlighet, och endast av underrättelse- och militära organisationer. I dag kommunicerar många människor via datornätverk, och kryptering har därmed blivit av stort intresse även civilt.

Jag tänker ta upp några exempel på krypteringsmetoder, från enklare till mera komplicerade, samt hur man kan gå tillväga för att försöka forcera dessa. På vägen kommer jag att formulera några ideer och begrepp, och även något av den matematik, som ligger bakom moderna kryptosystem.

Litteratur:
Bengt Beckman, Svenska kryptobedrifter, med en beskrivning av hur Arne Beurling knäckte den tyska chiffertrafiken. Albert Bonniers förlag.
Simon Sing: Kodboken.